Как найти наименьшее общее кратное

Первый способ:

Найти НОК 24 и 60.

1. Р азложить данные числа на простые множители

2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

60 = 2 • 2 • 3 • 5 24 = 2 • 2 • 2 • 3

3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.

НОК (24, 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 2

4. Полученное произведение записать в ответ.  Ответ: НОК (24, 60) = 120

Особые случаи нахождения нок

1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

Например, НОК (60, 15) = 60

2. Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. НОК (8, 9) = 72

Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

1. Разложить числа на простые множители.

2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.

1. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.

2. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел. 

Наибольший общий делитель

1. Пятиклассники решили сделать подарки первоклассникам. Они приготовили 69 шариков и 46 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в первом классе?

2. Два класса из 36 и 40 учеников. На праздники они построились в одну колонну с равным количеством школьников в каждом ряду. Как это можно сделать ?

3. Задача Бабы-Яги. Я в ступе в первый день привезла 35 кг топлива, во второй день 21 кг топлива для моей ступы, в 3 - й день14 кг. За каждый рейс я перевозила одинаковую массу топлива. Сколько килограмм я перевозила за один рейс.

4. а) Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 12 мандаринов и 16 бананов, если использовать все фрукты?

б) Во всех новогодних подарках всего было 185 мандаринов и 111 апельсинов. Сколько было подарков? Сколько мандаринов и сколько апельсинов было в каждом подарке?

5. а) Для новогодних подарков закупили 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52 пачки печенья, 104 апельсина и 130 яблок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать?

б) Для новогодних подарков купили 180 яблок, 90 апельсин и 900 конфет. Все дети получили одинаковые подарки. Какое наибольшее число одинаковых подарков было составлено из этих фруктов и конфет?

6. а) На новогодней елке все дети получили одинаковые подарки. Во всех подарках было 129 мандаринок и 86 шоколадок. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько мандаринок и сколько шоколадок было в каждом подарке?

б) Ребята получили на елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

7. а) Для подарков детям купили 80 штук апельсинов, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно изготовить и по сколько апельсинов, конфет и орехов будет в каждом подарке? .

б) Для приготовления подарков приобрели 200 пряников, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно приготовить для детей и сколько орехов, конфет и пряников будет положено в каждый пакет?

в)* Для устройства  елки  купили  орехов,  конфет и пряников - всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников  на  120 штук меньше,  чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых  подарков для детей можно сделать   из этого запаса?

7. а) Магазин получил елочные игрушки: 32 шарика, 48 колокольчиков и 56 звездочек. Сколько одинаковых комплектов можно составить из всех этих игрушек и по сколько игрушек каждого вида будет в комплекте?

б) Имеется 36 синих, 48 красных и 72 зеленых листа бумаги. Какое наибольшее число одинаковых комплектов цветной бумаги можно собрать из этих листов?

7. Для игры 24 ученикам дают 54 шара. На сколько групп надо поделить учеников, чтобы в каждой группе их было одно и то же наибольшее число, а также одинаковое число шаров?

8. Сколько букетов можно сделать из 18 желтых и 24 красных роз, если в каждом букете должно быть наибольшее, но во всех букетах одинаковое количество желтых и одинаковое количество красных роз?

9. а) Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты причем в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете?

б) Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты. Причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?».

7. Для участи в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящих только из девочек или только из мальчиков. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

8. На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по количественному команды, в которых всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько девочек и сколько мальчиков было в каждой команде?

9. Из школы в день здоровья 424 человека повезли на стадион, а 477 – в плавательный бассейн. Для этого заказали несколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом. Все места в автобусе были заняты, и никто не стоял. Сколько автобусов было заказано и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

10. Для первоклассников купили 270 фломастеров и 675 карандашей. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них было одинаковое число фломастеров и одинаковое число карандашей? Сколько фломастеров и карандашей будет в каждом подарке?

11. Садовый участок размером 54 м × 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?

12. Если мы хотим сделать ремонт в комнате - надо знать ее длину и ширину. Например, длина нашей комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

13. * а) Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

б) Лист картона имеет форму прямоугольника. Его длина равна 24 см, ширина - 16 см. Какие наибольшие равные квадраты можно получить из этого листа, если его разрезать без отходов?

в) Лист картона со сторонами 54см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа.

7. Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 × 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?

8. Ася и Вася играли со спичками, составляя из них различные правильные многоугольники. У Аси было 12 спичек, а у Васи – 18. Сколько они смогут составить одинаковых многоугольников с наибольшим числом сторон так, чтобы были использованы все спички?

9. В класс привезли учебники: по математике 24, по истории 36 и по географии 48. Какое наибольшее число комплектов можно составить из этих книг так, чтобы в каждом было одинаковое число книг по математике, истории и географии? По сколько книг будет в каждом комплекте?

10. а) Миша и Саша покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом, и его цена выражается целым числом рублей. Миша заплатил за наборы 85 рублей, а Саша – на 34 рубля больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купил Миша? Сколько наборов купил Саша?

б) Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купила каждая?

в) Я и моя подруга Юля решили купить одинаковые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Я заплатила за наборы 65 руб., а Юля - на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Я? А Юля?

7. На соревнованиях по бегу через каждые 300 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды рядом с наблюдателем?

8. Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2 – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи. 

9. Найти НОД делимого и делителя в частном: а) 720 : 144; б) 6812 :1703.

10. НОД (m, n) = НОД (m-n, n). Пользуясь свойством делимости разности, найти НОД:

а) 70 И 42; в) 579 и 592; д)482 и 4484;

б) 100 и 85; г) 378 и 270; е) 1001 и 998.

7. Найти НОД (m, n,c), если n - делитель m; n и c – взаимно простые числа. Привести пример.

8. Разность двух чисел является делителем каждого из этих чисел и равна 60. Чему равен их наибольший общий делитель.