Наименьшее общее кратное

1. а) Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов?

б) Шаг папы 90 см, а шаг мамы 80 см. На каком наименьшем расстоянии от начала движения они оба сделают по целому числу шагов?

2. Одно колесо, сделав полный оборот, проходит путь 105 см, другое 165 см. Найдите наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают по целому числу оборотов?

3. Диаметр заднего колеса гиганта-грузовика – 3 м, а переднего – 2 м. Найти наименьшее расстояние, которое пройдет грузовик, чтобы каждое колесо сделало целое число оборотов.

4. Никита пригласил к себе на день рождения трёх своих друзей и приготовил для них сладкое угощение – миндальный торт. Однако он не знает, сколько из них смогут откликнуться на его приглашение. На сколько равных кусков ему следует разрезать торт, чтобы всем участникам застолья досталось поровну?

5. По плану парада физкультурники сначала должны маршировать строем по 12 человек в шеренге. Потом они должны перестроиться в колонну по 18 человек в шеренге. Сколько физкультурников можно пригласить для участия в параде?

6. Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то 1 человек останется лишним. Если они построятся 9 человек в ряд, то опять один человек останется лишним. То же самое произойдет, если они построятся по 8;7;6;5;4;3 и наконец, по 2 человека в ряд. Всего их меньше 5 тысяч человек. Сколько их?

7. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя     деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца - 70см, сына - 56 см. Найти расстояние между этими деревьями,  если известно,  что следы их  совпали 10 раз.

8. а) В депо из одинаковых вагонов было сформировано 2 поезда. Первый – на 456 пассажиров, второй – на 494 пассажира. Сколько вагонов в каждом поезде, если известно, что общее число вагонов не превышает 30?

б) На станции стоят 3 пассажирских поезда: в первом – 418 мест в купейных вагонах, во втором – 494, а в третьем – 456. Сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом вагоне одинаковое число мест и их число больше 20?

2. На экскурсию по рекам и каналам отправились несколько катеров, где было одинаковое количество мест. В 12 ч отправились 387 человек, а в 13 ч – 430 человек. Все места на катерах были заняты. Сколько катеров отправилось на экскурсию и сколько мест было на каждом катере?

3. Первую половину пути Ефим ехал со скоростью16 км/ч, а вторую половину пути со скоростью – 24 км/ч, а Фома ехал весь путь со скоростью 20 км/ч. Какой путь они проехали? Кто быстрее приехал?

4. Найдите ошибку! Ученица нашла НОК(33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как это он сделал?

5. Какой наименьшей длины ленту должна купить Мальвина, чтобы разрезать ее на ленты по 35 см или по 50 см, не получив обрезков?

6. Какой наименьшей длины должна быть доска, чтобы ее можно было разрезать поперек на части, равные 20 см или 27 см, не получая обрезков?

7. Какой наименьшей длины должна быть веревка, чтобы ее можно было разрезать на равные части по 25 см или по 35 см, не получая обрезков?

8. Какой наименьшей длины должны быть ящики, чтобы в них можно было вкладывать изделия длиной по 12 см и по 8 см без свободного места?

9. Какой наименьшей длины нужно сделать заготовку, чтобы ее можно было разрезать на куски длиной по 24 см и по 36 см без потери материала?

10. У Васи в коллекции есть 380 марок с изображением цветов, а также 399 марок с изображением животных и насекомых. Он купил для них два альбома, все страницы которых вмещают одинаковое количество марок. Сколько марок вмещает каждая страница этих альбомов, если на любой из них помещается более 16 марок? 

11. Миша бывает в радиотехническом кружке каждый шестой день, Вова – каждый четвертый, Олег – каждый пятый. Сегодня они были в кружке. Через сколько дней Миша, Вова и Олег встретятся на занятии?

12. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Серёжа  — каждый 7-й, Ваня  — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз? На 105 день

13. Саша ходит в бассейн один раз в три дня, а Вася один раз в четыре дня, Ваня – в 5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?

14. Три ученика договорились пропускать занятия в разные дни, чтобы учитель не заметил. Первый стал пропускать каждый 4-й день занятий, второй – каждый 3-й день, третий – каждый 6-й день. Один из них сказал, что наступит день, когда всех троих не будет в школе. Прав ли он? Если да, то когда наступит этот день? Можно ли выбрать дни пропусков так, чтобы такого не произошло в течение первых 80 дней занятий?

15. а) Оля ходит в бассейн раз в 4 дня, Маша – в 6 дней, Ваня – в 8 дней. Они все были в бассейне 4 октября. Через сколько дней Оля, Маша и Ваня встретятся снова?

б) В бассейне встретились Валера, Марк и Антон. Через какое наименьшее время повторится их встреча, если они ходят в бассейн строго по расписанию: Валера – через 5 дней, Марк – через 12, Антон – через 10?

2. Наташа ходит на каток раз в 2 дня, Аня – в 3 дня, Люда – в 4 дня. Они все встретились на катке в воскресенье. Через сколько дней подруги снова соберутся вместе?

3. Сегодня в командировки отправятся 3 сотрудника: первый – на 15 дней, второй – на 20 дней, третий – на 12 дней. Через сколько дней они все снова увидятся?

4. Из речного порта одновременно 1 мая 2013 года вышли два теплохода. Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность второго – 24 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?

5. Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» за 12 дней, а теплоход «Киров» за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно?

6. От станции одновременно отправляются 2 поезда. У одного рейс туда и обратно длится 48 ч, у другого - 72 ч. Через какое время поезда снова встретятся на этой станции?

7. Теплоход первой линии совершает свои рейсы, возвращаясь и отправляясь в плавание каждые 12 дней, а теплоход второй линии – каждые 28 дней. Через какое наименьшее время произойдет их встреча в пункте отправления, если они отправляются в рейс одновременно?

8. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

9. У моей московской подруги Оли родители работают водителями трамваев: мама на маршруте «А», папа на «Б». Один рейс маршрута «А» длится 48 мин, а маршрута «Б» 72 мин. У этих маршрутов есть общая конечная станция, и вскоре после начала работы вагоны подошли к ней одновременно. Через какое время Олины родители снова встретятся на этой станции?

10. Муж получает на работе премию 1 раз каждые 8 месяцев, а жена – 1 раз в полгода. В этом году они получили премии одновременно под Новый год. Через какое наименьшее время они получат премии одновременно?

11. а) Два автобуса одновременно отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 минут. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади?

б) Два троллейбуса разных маршрутов встречаются на одной общей остановке. У одного троллейбуса весь рейс длится 50 минут, у другого – 1 час 30 мин.. Через сколько времени троллейбусы вновь встретятся на этой остановке?

2. По трем различным маршрутам из Перми курсируют три автобуса. Продолжительность маршрута первого автобуса – 8 ч, второго – 6 ч и третьего – 4 ч. Через сколько часов после одновременного выезда из Перми все три автобуса снова встретятся в Перми? Нок

3. Три автобуса в 6 ч утра отправились с одной и той же станции по трем разным маршрутам и совершают рейс туда и обратно; первый автобус – за 40 минут, второй – за 1 ч и третий – за 50 мин. Через какое наименьшее время все три автобуса одновременно отправятся с той же станции?

4. На остановке одновременно встретились трамвай, троллейбус и автобус. Через какое наименьшее время в этом месте повторится их встреча, если движение по круговому маршруту проходит строго по графику, при этом трамвай совершает рейс за 90 мин., автобус – за 120 мин., троллейбус – за 60 мин.?

5. Три велосипедиста стартуют из одной точки и движутся по круговому велотреку. Первый проезжает круг за 40 секунд, второй за 50 секунд, а третий за 45 секунд. Через какое время они снова окажутся вместе на точке старта?  

6. Аня и Ваня катались в парке атракционов на двух расположенных рядом каруселях. Первая карусель делает полный оборот за 12 секунд, а вторая – за 18. Через какое время Аня и Влад снова окажутся на кратчайшем расстоянии друг от друга, если перед пуском каруселей они сели на ближайшие места?

7. а) Конфеты «Сладкая математика» продаются по 12 штук в коробке, а конфеты «Геометрия с орехами» – по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

б) К празднику решили купить конфеты «Белочка» (они продаются по 30 штук в коробке) и конфеты «Снегурочка» (по 20 штук в коробке). Но нужно, чтобы тех и других конфет было поровну. Какое наименьшее число коробок «Белочки» и «Снегурочки» необходимо купить?

2. Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять?

3. Вдоль аллеи через каждые 15 м посадили кусты шиповника, а через каждые 18 м - березы. Через сколько метров от начала аллеи куст шиповника окажется рядом с березой?

4. а) На столе лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько лежит книг, если известно, что их можно связывать пачки по 3, по 4, и по 5 штук?

б) На полках лежат книги, число которых меньше, чем 100. Сколько всего книг, если известно, что их можно расставить на полках по 3, по 4, по 5 штук, по 6 штук?

2. Маленькая коробочка вмещает шесть яиц, а большая – десять яиц. Найдите наименьшее число яиц, которое может быть разложено как в маленькие коробки, так и в большие?

3. Мальчик расскладывал орехи. Когда он их раскладывал по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз оставался один орех. Сколько было орехов у мальчика, если известно, что их было менее 100?

4. На складе  имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше  300, но меньше 400.  Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях  получается  целое число десятков и целое  число  дюжин. Сколько  было  ножей и  вилок на складе,  если ножей было на 160 меньше, чем вилок?  

5. В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение?

6. Малая шестерня имеет 6, а большая – 18 зубцов. Какое наименьшее количество оборотов должна сделать педаль, чтобы заднее колесо велосипеда и большая шестерня возвратились в первоначальное положение?

7. Два зубчатых колеса, радиусы которых 20 см и 8 см, сцеплены друг с другом. Большое колесо вращается со скоростью 10 оборотов в секунду. Сколько оборотов в секунду будет при этом делать меньшее колесо?

8. Убедитесь, что НОД(36, 24) ∙ НОК(36, 24) = 36 ∙ 24

9. Проверьте равенство НОК(х, у) ∙ НОД(х, у) = х ∙ у, если х = 28, у = 21

10. а) На какое наименьшее число нужно умножить 35, чтобы полученное произведение было кратно 3, 5 и 2.

б) На какое наименьшее число нужно умножить 144, чтобы полученное произведение было кратно 4, 5 и 9.

в) На какое наименьшее число нужно умножить 121, чтобы полученное произведение было кратно 2, 3 и 121.

2. Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2, 3, 5, 10 и 15. Сколько яиц купила Маша?

3. а) Школьники построились в ряды по 6 человек в каждом. Затем их перестроили по 4 человека в ряд. Сколько было школьников, если известно, что их было больше 70, но меньше 80?

б) Учеников одного класса построили для похода в ряды по 6 человек, а потом перестроили по 4 человека в ряд. Сколько учеников в классе, если их меньше 50, но больше 40?

2. Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге?

3. Солдаты выстроились в ряды, по 12 человек в каждом, а затем перестроились по 8 человек в ряду. Сколько было солдат, если больше 180, но меньше 200?

4. На базар привезли арбузы. Если их считать десятками, то получится целое число десяток. Если считать дюжинами (по 12), то опять получится целое дюжин. Сколько арбузов привезли на базар, если их больше 300, но меньше 400?

5. Конструкторское бюро получило 74 справочника и 111 наборов карандашей, которые поровну разделили между работниками. Сколько работников в конструкторском бюро, если известно, что их больше 35?

6. * Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16×20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную?

7. Тетрадь стоит 15 коп. У покупателя 10 монет по 20 коп., а у продавца нет сдачи. Какое наибольшее количество тетрадей может купить покупатель?

8. Сергей хочет купить несколько пачек мороженного по 39 р., но у него только 5-рублевые монеты, а у продавца нет сдачи. Какое наименьшее число пачек мороженного он может купить?

9. Из двух натуральных чисел одно в 3 раза больше другого. Сравнить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель этих чисел.

10. Представить число 100 в виде суммы таких двух слагаемых, чтобы их НОК было в 9 раз больше их НОД. (Попробуйте использовать свойство: если одно число кратно другому, то большое из них является НОК, а меньшее – НОД этих чисел).

11. Найти НОД двух натуральных чисел, НОК которых равно их произведению. Привести обоснование способа решения.

12. ** В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их десятками, то не хватило 3 тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать дюжинами (по 12 тарелок), то осталось 7 тарелок. Сколько тарелок привезли в магазин ?