Тема «Уравнение касательной».

Задача 8. Найти уравнение касательной к кривой в точке .

Решение. Значение в точке: .

Производная: .

Производная в точке: .

Уравнение принимает вид ,

что преобразуется к виду .

Ответ. .

Задача 9. Найти касательную к графику в точке с абсциссой 2 и расстояние от этой прямой до начала координат.

Решение. , , .

Подставим эту информацию в уравнение .

Получается .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

для этого сначала преобразуем к неявному виду: .

Тогда видно, что . .

= = .

Ответ. Касательная , расстояние .

Задача 10. Найти касательную к графику в точке .

Решение. , , .

.

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 11. Найти касательную к графику функции в точке .

Решение. .

. .

.

Ответ. Уравнение касательной .

Задача 12. Найти касательную к графику функции в точке .

Решение. , , .

Тогда уравнение: что сводится к виду

.

Ответ. .

Практика 22

Задача 1. Найти уравнение касательной к графику в точке и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей.

Решение. , , .

.

Выясним, треугольник и в какой четверти она отсекает. Для этого найдём точки пересечения с координатными осями.

, . Точки и . Треугольник в 4-й четверти. Схематично покажем, где и как он расположен:

Его площадь это 0,5 от площади достроенного прямоугольника, а она была бы равна . Поэтому ответ .

Ответ. Касательная , площадь треугольника .

Задача 2. На графике функции взята точка . Касательная к графику в точке наклонена к оси под углом, тангенс которого равен . Найти точку .

Решение. «Касательная наклонена под углом, тангенс которого » это значит, что производная в той точке равна . Вообще говоря, уравнение касательной здесь в полном виде и не понадобится. Надо узнать, в какой точке производная функции равна .

= .

Решим уравнение . А тогда уже легко вычисляется и значение функции, и находится точка. = = 2.

Ответ. Точка .

Задача 3. Найти точки на графике , такие, что касательная, проведённая в них, проходит через начало координат.

Решение. Необходимо, чтобы в уравнении касательной не было константы, тогда касательная будет содержать начало координат. Пусть такая точка имеет абсциссу . Тогда , . Уравнение касательной . Преобразуем его. . Чтобы не было константы, должно быть , т.е. или . Высота графика при обоих этих значениях одинакова, и равна 8. Тогда точки: и .

Ответ. и .

Задача 4. Найти уравнение касательной к кривой в точке .

Решение. , .

, тогда , .

Ответ. .

Задача 5 . Найти касательную плоскость к поверхности в точке (1,1,2).

Решение. Уравнение касательной плоскости, которые доказали в лекциях, имеет вид:

.

Запишем уравнение поверхности в неявной форме , чтобы можно было искать градиент. .

. Тогда уравнение касательной плоскости:

, приведём подобные:

.

Ответ. .

Задача 5а (домашняя) . Найти касательную плоскость к поверхности в точке (1,2,5). Ответ. .

Задача 6 . Найти касательную к неявно заданной кривой в точке .

Решение. Уравнение касательной для этого случая имеет вид:

. Выражать в явном виде и не требуется.

Во-первых, проверим, что точка на самом деле принадлежит этой кривой. Подставим 1,1 и проверим тождество. Оно выполняется.

Найдём частные производные:

Тогда .

Уравнение касательной: , сводится к виду

.

Ответ. .

Тема «Формула Тейлора».

Задача 7. Вывести формулу Тейлора для функции в точке .

Решение. Найдём производные и их значения в нуле, до тех пор, пока они не начнут повторяться:

...

...

Как и для косинуса, здесь 4 производная совпадает с и повторение через каждые 4 шага. Подставим эти константы в формулу

Получаем

Ответ.

График синуса и частичных сумм ряда:

Синим цветом показан , красным кубическая парабола ,

а зелёным ещё более точное приближение .

Задача 8. Вывести формулу Тейлора для в точке .

Решение. Найдём производные:

...

...

Подставим эти коэффициенты в формулу. Получим

В числителе тоже факториалы, но с небольшим отставанием, на одно число. Поэтому почти все множители из этих факториалов (кроме последнего) сокращаются, например . А элемент это просто либо либо при чётной и нечётной степени соответственно.

Ответ.

Задача 9. Вывести формулу Тейлора для в точке .

Решение. Запишем производные.

...

Подставим эти коэффициенты в формулу. Получим

Ответ.

Серия задач, где разложение получается с помощью геометрической прогрессии.

Задача 10. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Представим , и тогда знаменатель прогрессии будет . Эта функция представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, записанную в свёрнутом виде, т.е. мы по формуле должны развернуть её обратно в сумму.

.

Ответ. .

Задача 11. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Здесь константа не равна 1, тогда можно вынести константу за скобки, и тогда получится . Мы можем пользоваться этой формулой при условии, что , то есть .

Итак, =

Ответ. =

Задача 12. Разложить в степенной ряд в окрестности .

Решение. Здесь разложение в окрестности другой точки, а не 0, в этом случае надо изначально сделать арифметическое преобразование, чтобы отделить слагаемое вида .

Затем вынесем за скобку констенту 4, чтобы в знаменателе выражение начиналось с 1, т.е. чтобы присутствовала структура типа . Итак, = .

А уже после этого, в качестве знаменателя прогрессии получается

и тогда, при условии, что , получим .

Это верно в такой области: , т.е. .

Ответ. .