Практика 24.
Задача 1. Найти условный экстремум
функции
при условии, что
.
Решение. Поверхность
это наклонная плоскость. Ни одна точка
на ней не является точкой экстремума,
ведь в её окрестности есть другие точки
как выше, так и ниже. Однако если сузить
область определения, то есть рассматривать
не всю плоскость, а только параболу, над
параболой есть точка минимальной высоты.
Подставим условие в функцию .
,
свели к функции одной переменной, и для
неё уже ищем обычный экстремум.
.
,
т.е. минимум.
Значение функции в этой точке:
.
Ответ. Точка
условный минимум.
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее
значение функции
в области
.
Решение. Сначала найдём экстремумы во внутренних точках, а затем условные экстремумы на границах квадрата, после этого сравним все значения в получившихся точках, а также в 4 углах квадрата.
никогда не обращается в (0,0) из-за первой
координаты. Экстремумов во внутренних
точках нет. Теперь ищем условные
экстремумы на границах квадрата.
.
,
,
экстремум при
,
то есть в точке
,
это условный максимум, т.к.
.
.
,
,
экстремум при
,
то есть в точке
,
это условный максимум, т.к.
.
.
,
,
экстремумов нет.
.
,
,
экстремумов нет.
Итак, осталось проверить значение функции в точках условного экстремума на границах , и в 4 угловых точках квадрата:
.
Наименьшее значение , наибольшее 1.
Чертёж этой поверхности:
Ответ. Наименьшее
наибольшее
.
Задача 3. Найти отношение высоты к радиусу основания цилиндра, такое, что при фиксированном объёме получалась наименьшая площадь поверхности.
Решение. Это задача на условный
экстремум. Формула объёма цилиндра
.
Полная площадь поверхности это сумма
площади боковой поверхности и площадей
2 кругов, то есть верхней и нижней грани
цилиндра. Она вычисляется по формуле:
=
.
Требуется, чтобы эта площадь была
наименьшей. Пусть объём фиксирован и
составляет 1 единицу,
.
Тогда
.
Таким образом, мы можем в функции
одну из двух переменных выразить через
другую, то есть получится функция одной
переменной.
=
=
.
Теперь найдём экстремум этой функции
по
.
=
.
Найдём, когда производная равна 0.
.
При этом
=
=
.
Соотношение
=
:
=
=
=
=
2.
Ответ.
.
Замечание. Для наименьшей площади поверхности диаметр цилиндра должен быть равен высоте, сбоку такой цилиндр виден именно как квадрат! Если цилиндрическая консервная банка слишком плоская, или наоборот, слишком высокая, это перерасход металла. Так что задача имеет прямое отноешние к экономике.
Выпуклость графика и асимптоты.
Задача 4. Найти интервалы выпуклости
вверх и выпуклости вниз и асимптоты
графика функции
.
Решение. Сначала, очевидно, надо найти первую производную.
=
=
.
Первая производная положительна, она может обратиться в 0 лишь при . Так как она нигде не отрицательна (ведь все степени чётные) то интервал роста не сменяется интервалом убывания, а снова продолжается рост. Таким образом, мы установили, что экстремумов нет, функция монотонно возрастает.
Теперь найдём 2-ю производную.
=
Сократим по крайней мере на одну степень
выражения
.
=
=
=
=
выделили множитель, который заведомо
больше 0, а также там видим 2 множителя,
которые могут менять знак. Когда они
одного знака, оба плюс или минус, тогда
вторая производная больше 0, а когда
разного знака, тогда меньше 0.
1)
на
,
на
.
2)
.
Теперь сопоставим эти интервалы, вот на схеме жёлтым показано, на каком интервале то или иное выражение положительно, а зелёным - отрицательно:
Итак,
,
если
и
.
На этих интервалах график выпуклый вниз.
,
если
и
.
На этих интервалах график выпуклый вверх.
Точки перегиба
.
Поиск асимптот.
=
= 1.
=
=
=
.
Асимптота
.
Вот чертёж:
Видно, что сначала график отходит от
асимптоты, в это время выпуклый вниз.
Потом после
начинает возвращаться, в это время
выпуклость вверх. Пересекает её,
начинается торможение, в это время
выпуклость вниз. А потом до бесконечности
приближается к асимптоте, в это время
выпуклость вверх.
Примечание. Сравнение с реальной ситуацией - машина, которая съехала с дороги, потом возвращается но проскочила мимо, потом снова начинает приближаться, но уже с другой стороны и плавно.
Задача 5. Найти асимптоты графика
функции
.
Решение. Во-первых, при знаменталь обращается в 0, здесь разрыв 2 рода. То есть, вертикальная прямая это вертикальная асимптота. Теперь ищем наклонные асимптоты.
=
= 2. Причём этот результат не зависит от
того, предел при
или
,
ведь обе старшие степени чётные. Нашли
,
т.е. есть наклонная асимптота типа
.
теперь найдём
.
=
=
=
=
=
.
Итак,
и опять же, это независимо от
или
.
Значит, прямая
это двусторонняя асимптота.
Ответ. Вертикальная
и наклонная
.
График:
Задача 6. Найти асимптоты графика
функции
.
Решение. Область определения:
.
Здесь нет знаменателя, который мог бы
обращаться в 0, поэтому вертикальных
асимптот нет. Функция не ограниченная
при
,
поэтому и горизонтальных асимптот нет,
так что ищем только наклонные. Функция
чётная, поэтому можем искать только при
на правой полуплоскости, а на левой
график симметричен, так что если
будет асимптотой на правой полуплоскости,
то
на левой. А вот двусторонняя асимптота
здесь никак не могла бы быть, ведь график
симметричен относительно вертикальной
оси, т.к. функция чётная.
=
=
= 1.
=
=
здесь умножили на сопряжённое, как в таких пределах делали раньше.
=
=
.
Итак,
,
,
на правой полуплоскости асимптота
.
Тогда из-за симметрии графика чётной
функции на левой полуплоскости наклонная
асимптота
.
Ответ. Две односторонние асимптоты и .
График (асимптоты показаны зелёным цветом).
Задача 7. Найти асимптоты графика
функции
.
Решение. Функция не является чётной, поэтому здесь придётся при и искать пределы каждый отдельно.
=
=
=
.
=
=
=
=
=
=
0.
Итак,
,
,
на правой полуплоскости асимптота
.
На левой полуплоскости:
=
=
=
.
=
=
=
=
но так как
отрицательно то
.
Итак, на левой полуплоскости
,
.
Здесь не наклонная, а горизонтальная
асимптота,
.
Ответ. На правой полуплоскости наклонная асимптота ,
на левой горизонтальная асимптота .
Вот график этой функции:
Задача 8. (Производная функции,
заданной неявно).
.
Найти производную в точке (1,1).
Решение. Во-первых, проверим, что эта точка принадлежит кривой.
,
да, принадлежит. Ищем производную:
=
=
=
=
.
Ответ. .
Практика 25.
Задача 1. Дано:
.
Точка движется по прямой:
.
Вычислить
с помощью формулы полной производной
и без её использования.
Решение.
1 способ. Сведём к функции от и вычислим для неё обычную производную.
=
=
=
,
=
=
.
2 способ. По формуле полной производной:
=
=
=
а теперь уже в этом выражении выразим
через
:
=
=
=
.
Ответ. .
Задача 2. Вывести формулу
.
Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.
=
,
что и приводит к
выражению
.
Задача 3. Найти производную для
.
Решение. По формуле из прошлой задачи, для 3 множителей:
=
=
.
Ответ. .
Повторение перед контрольной.
Задача 4. Найти 1-ю производную
.
Ответ.
.
Задача 5. Найти 1-ю и 2-ю производную
и
.
Ответ.
,
,
.
Задача 6. Найти градиент функции
в точке
и производную по направлению
.
Ответ.
,
.
Задача 7. Найти уравнение касательной
для
в точке
и высоту касательной при
.
Ответ. Уравнение
,
.
Задача 8. Найти экстремумы для
.
Ответ. и минимумы, максимум.
Темы 4-й контрольной (45 минут, 4 задачи):
13. Производная функции одной переменной.
14. Частные производные, градиент, производная по направлению.
15. Уравнение касательной.
15. Экстремумы.
Практика 26 (30 декабря у обеих групп).
Зачётная неделя. Новый материал не предусмотрен. Исправление контрольных. Написание контрольных, пропущенных по уважительным причинам.
Приложение 1.
Пример одного варианта контрольных работ.
Темы 3-й контрольной:
9. Предел последовательности
10. Предел функции, с неопределённостью 0/0.
11. Предел функции, 1-й замеч. lim
12. Предел функции, 2-й замеч. lim
Вариант:
9) Вычислить предел
10) Вычислить предел
11) Вычислить предел
12) Вычислить предел
Темы 4-й контрольной:
13. Производная функции одной переменной.
14. Частные производные, градиент, производная по направлению.
15. Уравнение касательной.
16. Экстремумы.
Вариант:
13) Найти 1-ю и 2-ю производную и .
14) Найти градиент функции в точке и производную по направлению .
15) Найти уравнение касательной для в точке и высоту касательной при .
16) Найти экстремумы для .
Список литературы
I. Пособия кафедры.
1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2244
2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2246
I I.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.