Наибольшее и наименьшее значение на отрезке.

Задача 5. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение. Сначала найдём производную и точки экстремума.

.

.

Точка . Чтобы узнать, максимум это или минимум,

найдём 2-ю производную.

= = .

поэтому в этой точке максимум.

Других экстремумов на данном отрезке нет. Производная и сама функция не существуют при , однако эта точка в рассматриваемый отрезок не входит. Теперь остаётся сравнить значения в точке экстремума и на концах отрезка.

= .

=

= .

Наибольшее значение , наименьшее .

График:

Ответ. Наибольшее , наименьшее .

Задача 6. Дана функция . Найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение. = =

вынесли множитель, который меняет знак, отдельно. Первый множитель здесь всегда больше нуля.

, то есть .

При производная положительна, там рост функции.

Вне этого интервала , убывание функции.

В точке убывание сменяется ростом, это минимум.

В точке рост сменяется убыванием, это максимум.

График:

Осталось сравнить значения в точках экстремума и на концах отрезка.

, ,

, .

Ответ. Наименьшее: , наибольшее: .

Задача 7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0,5].

Решение. Сначала найдём экстремумы во внутренних точках. , только при . При этом , то есть там минимум. Осталось найти все значения функции в точках экстремума и в двух граничных точках и сравнить их:

.

Ответ. Наибольшее , наименьшее .

Задача 8. Найти экстремум функции 2 переменных: .

Решение. Найдём точку, в которой обе частные производные , обращаются в 0.

Получим . Составим матрицу из вторых производных.

= она соответствует положительно-определённой квадратичной форме . Проще говоря, в каждом из двух перпендикулярных сечений поверхности такая кривая, что 2-я производная больше нуля, то есть по каждому сечению минимум.

Тогда точка (1,3) минимум для поверхности.

Замечание. Можно было выделить полный квадрат по каждой переменной и сразу получить тогда было бы видно, что в любой точке значение больше нуля, а в то же время .

Ответ. Точка (1,3) минимум.

Условные экстремумы.

Задача 9. Дана функция . Найти условные экстремумы этой функции на окружности .

Решение. Условие имеет вид . Наклонная плоскость наклонена в сторону биссектрисы первой четверти. Окружность под плоскостью проецируется наверх, и там получается эллипс, и видно, что у него есть точки максимальной и минимальной высоты.

Теперь найдём их подробно, аналитическим путём. Надо функцию двух переменных свести к функции одной переменной с помощью условия, и затем искать экстремум для неё уже обычным образом. Для точки на окружности, можно задать x,y так: .

Тогда вместо можно получить в итоге = .

= .

. при , то есть и .

. Тогда , там условный максимум. , там условный минимум.

Переведём обратно в декартовы координаты .

соответствует .

итак, при получим .

При получим .

Кстати, на чертеже они тоже хорошо видны, в 1-й четверти условный максимум, в 3-й четверти условный минимум. Высота в точках условного максимума и минимума легко вычисляется, если подставить в функцию.

= .

= .

Замечание. Не всегда обязательно выражать переменные через t, просто здесь для окружности так было удобнее. Если в другой задаче кривая - парабола, то можно например все заменить на , и тоже сведётся к одной переменной, а именно .

Ответ. Точка условный максимум, условный минимум.