Задание 4.3

1. Решить игру 2хn графическим методом.

1)

	В1	В2	В3	В4
А1	-1	1	-1	2
А2	0	-1	2	-2

2)

	В1	В2	В3	В4
А1	4	2	3	-1
А2	-4	0	-2	2

3)

	В1	В2	В3	В4
А1	6	1	-1	0
А2	-2	0	5	4

4)

	В1	В2	В3	В4
А1	-1	1	-2	6
А2	3	2	7	1

5)

	В1	В2	В3	В4
А1	4	2	7	3
А2	1	6	-2	4

4.2 Основные определения и понятия.

• Теория игр — математическая теория конфликтных си­туаций.

• Стратегией игрока называется система правил, одно­значно определяющих выбор

поведения игрока на каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в

процессе игры.

• Игры, в которых целью каждого участника является получение по возможности

большего индивидуального выигрыша, называются бескоалиционными в отличие

от коалиционных (кооперативных), в которых действия игроков направлены на

максимизацию выигрышей коллективов (коалиции (кооперации)) без дальнейшего

разделения выигрыша между участниками.

• Игра называется с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько,

сколько второй проигрывает в той же партии.

• Матричная - парная игра с нулевой суммой, задаваемая матрицей - ||aij||_mxn,

элементы которой определяют выигрыш первого игрока (и соответственно

проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю строку (i-ю стратегию), а

второй игрок — j-й столбец (j-ю стра­тегию). Матрица ||aij||_mxn называется

платежной матрицей или матрицей игры.

• Каждая фиксированная стратегия, которую может вы­брать игрок, называется

его чистой стратегией.

• Матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, если игра имеет

равновесную ситуацию – когда v = V = v*, где

- нижняя цена игры;

- верхняя цена игры.

Всегда v V. v* называется ценой игры в чистых стратегиях.

• Если v = V = v*, то решение игры в чистых стратегиях достигается в

седловых точках. Любая пара (i₀ , j₀ ) назы­вается седловой точкой, когда

существует элемент матрицы ai₀j₀ , обладающий свойством

aij₀  ai₀j₀  ai₀j ,

т. е. когда элемент матрицы ai₀j₀ - минимальный в своей строке и в то же

время максимальный в столбце.

• Если обозначить через p₁ , p₂ , ..., p_m вероятности (частоты), с которыми первый

игрок выбирает соответ­ственно первую, вторую, ..., m-ю чистую стратегию, так

что

pi  0, i = l, 2, ..., m, ;

через q₁, q₂, , ..., q_n — вероятности, с которыми второй игрок выбирает первую,

вторую, ..., n-ю свою чистую стратегию, причем

qj  0, j = 1, 2, ..., n, ,

то наборы чисел P = (p₁ , p₂ , ..., ..., p_m ) и Q = (q₁ , q₂ , ..., q _n ) называются

смешанными стратегиями первого и второго игроков соответственно.

Каждый игрок имеет бесчисленное множество смешанных стратегий.

• Аналитическое решение игры 2х2

Если матрица размером 2х2 не имеет седловой точки, то каждый из игроков

обладает единственной оптимальной смешанной стратегией Р⁰ и Q⁰ с

компонентами

, p₂ = 1 – p₁

, q₂ = 1 – q₁

цена игры v* определяется формулой

• Правило (принцип) доминирования

Строка k называется доминируемой строкой l, если все элементы строки k не

превышают соответствующих элементов строки l , т.е. a_ki  a_li для всех i.

Столбец k называется доминируемым столбцом l , если все элементы столбца l

не превышают соответствующих элементов столбца k , т.е. a_kj  a_lj для всех j.

Оптимальные смешанные стратегии в игре с усеченной матрицей, полученной

отбрасыванием доминируемых строк и столбцов, являются оптимальным

решением исходной игры, если вероятности доминируемых чистых

стратегий положить равными нулю.