У рів час перебування всіх частинок є однаковим і дорівнює

 = V : U_A, ( 3.22)

де V – реакційний об’єм; U_A – об’ємна витрата реакційної суміші.

Математична модель (характеристичне рівняння) для РІВ виводиться на підставі матеріального балансу для елементарного об’єму реактора.

Рис. 3.4. До складання матеріального балансу РІВ

Нехай у РІВ відбувається реакція А R. Виділимо всередині реактора деякий елементарний об’єм dV, обмежений стінками реактора і поперечними перерізами, які розміщені на віддалі dl (рис. 3.4).

Нехай реакційна суміш проходить від входу в реактор до виділеного об’єму відстань l₁. За цей час (₁) досягається ступінь перетворення х_А. За час проходження виділеного об’єму завдовжки dl приріст ступеня перетворення становить dx_A. Отже, на виході із елементарного об’єму сумарне значення ступеня перетворення дорівнює (x_A + dx_A).

У реактор входить реаґент А кількістю

G_A.прих = U_AC_Ao. (2.23)

За час ₁ кількість прореагованої речовини А дорівнює

G_{A.прореаг} = U_AC_Aoх_А. (3.24)

Отже, на вході в елементарний об’єм кількість реаґенту становить

G_{А, прих} = U_AС_Ао(1 - х_А). (3.25)

В елементарному об’ємі реагує речовина А кількістю

dG_{A.прореаг} = U_AC_Ao(х_А + dx_A). (3.26)

Тоді на виході з цього об’єму кількість реаґенту дорівнює

dG_A.вих = U_AC_Ao(1 – (х_А + dx_A)). (2.27)

Загалом, на виході із зазначеного об’єму витрата реаґенту становить

G_{А, витр} = G_A,вих + G_A,х.р. = U_A С_Ао(1-(х_А + dx_A)) + u_АdV, (2.28)

де x_A – ступінь перетворення реаґенту А за час проходження реаґентом відстані від входу в реактор до елементарного об’єму; dx_A – приріст ступеня перетворення, який досягається в елементарному об’ємі реактора; u_А – швидкість хімічного перетворення реаґенту А; dV – елементарний об’єм реактора.

Прирівнявши рівняння (3.25) і (2.28), отримаємо

U_A С_Ао dx_A = u_АdV. (3.29)

Розв’яжемо це рівняння щодо  – часу перебування реаґенту А в реакторі

, (3.30)

звідки

. (3.31)

Отриманий вираз – це характеристичне рівняння для РІВ, записане у загальному вигляді.

Для простої необоротної реакцій АR нульового порядку швидкість, згідно із законом діючих мас, дорівнює

Звідки час перебування в реакторі становить

. (3.32)

Для простої необоротної реакцій А R першого порядку швидкість дорівнює

. (3.33)

Підставивши цей вираз у рівняння (3.31), отримаємо

. (3.34)

Відтак характеристичне рівняння РІВ для реакцій першого порядку має вигляд

. (3.35)

Як видно із цього рівняння, значення початкової концентрації не впливає на час перебування реаґентів у реакторі, який необхідний для досягнення заданого ступеня перетворення.

Для простої необоротної реакцій n-го порядку, швидкість якої дорівнює

, (3.36)

час перебування у реакторі становить

. (3.37)

Розв’язавши цей інтеграл, отримаємо підсумкове характеристичне рівняння для РІВ:

. (3.38)

Для оборотної реакції першого порядку А  R швидкість дорівнює

, (3.39)

де С_А = С_Ао(1 - х_А), С_R = С_Аох_А.

. (3.40)

Отже, час перебування реаґентів у реакторі дорівнює

, (3.41)

звідки . (3.42)

Якщо під час перебігу хімічної реакції відбувається зміна об’єму реакційного середовища, то її враховують при виведенні характеристичного рівняння.

Коефіцієнт зміни об’єму дорівнює

, (3.43)

де V_o і V_к – початковий і кінцевий об’єми реакційного середовища в реакторі.

Очевидно, що залежно від того чи реакція відбувається із збільшенням реакційного об’єму, чи зменшенням, значення цього коефіцієнта може бути відповідно більшим або меншим від нуля.

Значення об’єму реакційного середовища залежить від коефіцієнта зміни об’єму та ступеня перетворення, який досягається на певний момент перебігу реакції:

V = V_o + x_AV_o, (3.44)

де V_o – початковий об’єм реакційного середовища за х_А=0; x_AV_o – зміна об’єму реакційного середовища.

Концентрацію реаґенту А, яка фігурує у характеристичному рівнянні, виразимо через відношення його маси до значення реакційного об’єму в певний момент часу. Маса реаґенту А за ступеня перетворення х_А дорівнює

G_A = G_Ao(1 – x_A).

Відповідно концентрація реаґенту становить

. (3.45)

Час перебування у реакторі у випадку, коли відбувається зміна реакційного об’єму, для реакцій n-го порядку дорівнює

, (3.46)

звідки

. (3.47)