3.2 Задача 2 «Построение пирамиды»

Задание. Построить фронтальную и горизонтальную проекции пирамиды, основание которой – треугольник АВС, а высота – ребро SА = 60 мм. Координаты вершин треугольников даны в таблице 1.

Вариант	А			В			С			D			Е			F
	х	у	z	х	у	z	х	у	z	х	у	z	х	у	z	х	у	z
1	20	50	10	83	120	80	135	58	50	68	30	85	0	120	35	120	90	0
2	135	50	80	85	80	25	20	10	90	110	80	5	80	20	90	10	80	60
3	135	80	50	83	25	80	20	90	10	68	110	85	125	55	25	0	90	10
4	50	80	25	120	8	85	0	50	80	70	85	110	135	35	20	15	0	52
5	0	50	80	50	80	25	120	10	88	135	35	20	18	0	53	70	85	110
6	115	8	75	50	105	23	0	50	85	35	50	55	80	85	105	100	0	45
7	130	50	80	85	80	25	15	10	90	0	30	15	75	85	110	120	0	50
8	0	80	45	50	25	80	115	90	9	10	50	0	65	105	80	130	20	35
9	25	50	20	65	115	130	145	20	55	85	130	0	165	115	20	35	0	148
10	20	65	28	165	120	120	125	0	8	55	120	28	170	45	100	35	45	100
11	130	40	60	90	90	90	20	30	20	70	20	95	0	100	60	140	65	25
12	125	90	10	0	85	50	55	20	80	120	60	50	20	30	70	65	105	15
13	135	45	50	80	80	115	20	10	40	120	0	95	65	85	20	25	45	85
14	0	55	40	50	110	0	120	40	75	10	80	60	80	20	90	110	80	5
15	20	12	90	85	80	23	135	50	85	70	85	110	0	35	20	120	0	52
16	0	50	85	50	105	25	115	8	75	110	65	55	55	0	115	15	70	40
17	115	90	10	52	25	80	0	80	45	65	105	80	130	20	35	10	50	0
18	120	40	75	5	50	0	0	55	40	125	20	55	20	10	40	75	110	110
19	15	10	90	85	80	25	130	50	80	75	85	110	0	30	15	120	0	50
20	120	10	88	52	80	25	0	50	83	70	85	110	135	35	20	15	0	53
21	5	50	40	50	105	5	120	40	70	10	80	60	80	20	85	110	80	5
22	125	40	60	85	90	85	20	25	20	70	20	90	0	100	60	130	60	20
23	115	10	80	50	100	25	0	50	80	30	50	50	85	80	110	95	0	50
24	110	5	75	45	95	20	0	45	75	35	55	55	90	85	110	100	5	55

Таблица 1 - Данные к задачам 1 и 2 (координаты в мм)

По условию задачи вершина пирамиды S принадлежит ее высоте и отстоит от вершины основания, точки А, на 60 мм. Высота пирамиды – это перпендикуляр к основанию, опущенный из ее вершины.

Таким образом решение задачи сводится к построению перпендикуляра к плоскости треугольника АВС и определению его натуральной величины.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Для решения задачи удобно, чтобы этими прямыми были главные линии плоскости.

К главным линиям плоскости относятся линии, принадлежащие заданной плоскости и параллельные одной из основных плоскостей проекций – горизонталь, фронталь и профильная прямая.

По свойству ортогонального проецирования прямой угол проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна одна из его сторон.

Учитывая свойство ортогонального проецирования прямого угла, одноименные проекции перпендикуляра к плоскости перпендикулярны одноименным проекциям названных выше главных линий плоскости. Т.о. горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Горизонталь – прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная плоскости проекций П₁. Горизонталей в плоскости можно построить множество. Поскольку прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости, то при построении проекций горизонтали, решая данную задачу, можно воспользоваться одной из вершин треугольника АВС. Вторую точку прямой получают на пересечении ее с одной из сторон заданного треугольника.

Решение. По максимальным координатам х, у и z определяют поле чертежа основания пирамиды – треугольника АВС и размещают в правой части формата А3. Наносят оси координат. По заданным координатам строят проекции вершин треугольника АВС в плоскостях проекций П₁ и П₂.

Пример решения задачи 2 приведен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Пример решения задачи 2

В плоскости П₂ строят прямую (А₂, 1₂), фронтальную проекцию горизонтали, параллельно оси Ох. В плоскости П₁ строят горизонтальную проекцию горизонтали – прямую (А₁, 1₁) (по двум точкам). Из вершины А₁ проводят перпендикуляр к прямой (А₁, 1₁). Т.о. будет построена горизонтальная проекция высоты пирамиды.

В плоскости П₁ строят прямую (А₁, 2₁), горизонтальную проекцию фронтали, параллельно оси Ох. В плоскости П₂ строят фронтальную проекцию фронтали – прямую (А₂, 2₂) (по двум точкам). Из вершины А₂ проводят перпендикуляр к прямой (А₂, 2₂). Т.о. будет построена фронтальная проекция высоты пирамиды.

По положению проекций высоты на эпюре определяем, что она занимает в пространстве общее положение и, следовательно, ни на одну плоскость проекций в натуральную величину не проецируется. Отрезок прямой проецируется в натуральную величину только на плоскость, которой он параллелен. Чтобы построить высоту длиной 60 мм (по условию задачи), необходимо ее привести в положение линии уровня, т.е. в положение параллельное одной из плоскостей проекций.

Это действие можно выполнить, решая задачу методом вращения. На горизонтальной проекции высоты берут произвольную точку 3. Прямую (А, 3) поворачивают вокруг оси вращения, проходящую через точку А и перпендикулярную горизонтальной плоскости

проекций, до положения фронтальной прямой (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций). При этом на эпюре горизонтальная проекция точки 3 переместиться по окружности в точку 3₁', и горизонтальная проекция высоты займет положение параллельно оси Ох. Фронтальная проекция точки 3 переместится параллельно оси Ох в сторону вращения в точку 3₂'. Прямая (А₂, 3₂') – натуральная величина высоты пирамиды. От точки А₂ по этой прямой откладывают заданную длину высоты и определяют положение точки S₂'. Затем по линиям связи строят проекции вершины S – точки S₂ и S₁.

Далее достраивают боковые ребра и определяют видимость ребер пирамиды методом конкурирующих точек.