3.3 Задача 3 «Двугранный угол»

Задание. Построить фронтальную и горизонтальную проекции двугранного угла, гранями которого являются треугольники АВС и АСD. Определить величину угла при ребре АС. Построить проекции прямой m, удаленной от граней заданного угла на расстояние 15 мм. Координаты вершин треугольников даны в таблице 2.

Чтобы определить натуральную величину двугранного угла необходимо заданный угол привести в положение, при котором грани угла спроецируются в отрезки, при этом общее ребро АС спроецируется в точку. Таким образом решение задачи сводится к приведению ребра АС в проецирующее положение.

Задача решается методом перемены плоскостей проекций. Данный способ решения метрических задач относится к способам преобразования чертежа. Задачи решаются легче, если заданный геометрический объект (отрезок прямой, плоскость) находится в частном положении.

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в следующем: положение в пространстве заданного геометрического объекта остается неизменным, а заменяют одну или, если необходимо по условию задачи, последовательно две плоскости проекций.

Решение. По максимальным координатам х, у и z определяют поле чертежа треугольников АВС и АСD и размещают в левой верхней части формата А3. Наносят оси координат. По заданным координатам строят проекции вершин треугольников в плоскостях проекций П₁ и П₂.

Пример решения задачи 3 приведен на рисунке 3.

Вводят новую плоскость П₄ перпендикулярно плоскости проекций П₁, и общее ребро АС должно быть параллельно этой плоскости. Образовалась новая система плоскостей проекций П₁ / П₄. Т.о. произошла замена плоскости П₂ на плоскость П₄, на пересечении этих плоскостей проекций образовалась ось Ох₁. Чтобы построить проекцию вершины треугольника на плоскости П₄, необходимо по линии связи данной вершины, проведенной в новой системе плоскостей проекций, от оси проекций Ох₁ отложить расстояние с замененной плоскости, т.е. расстояние от оси Ох до проекции данной вершины в плоскости проекций П₂. Спроецировав таким образом на плоскость П₄ двугранный угол, построили натуральную величину общего ребра – отрезок А₄ С₄ (в натуральную величину отрезок прямой проецируется на плоскость, которой он параллелен).

Чтобы привести двугранный угол в проецирующее положение (общее ребро АС спроецировано в точку, а грани угла, заданные треугольники, в отрезки) необходимо произвести вторую перемену плоскостей проекций. Вводят плоскость П₅ перпендикулярно плоскости П₄, и общее ребро АС должно быть перпендикулярно этой плоскости. Образовалась новая система плоскостей проекций П₄ / П₅. Т.о. произошла замена плоскости П₁ на плоскость П₅, на пересечении этих плоскостей проекций образовалась ось Ох₂. Чтобы построить проекцию вершины треугольника на плоскости П₅, необходимо по линии связи данной вершины, проведенной в новой системе плоскостей проекций, от оси проекций Ох₂ отложить расстояние с замененной плоскости, т.е. расстояние от оси Ох₁ до проекции данной вершины в плоскости проекций П₁. Спроецировав таким образом на плоскость П₅ двугранный угол, построили его натуральную величину. Величину двугранного угла АВСD измеряют транспортиром и указывают на эпюре.

Далее по условию задачи необходимо построить проекции прямой m, параллельной общему ребру АС и удаленной от граней угла на 15 мм.

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции попарно параллельны.

На плоскость П₅ ребро АС спроецировалось в точку, следовательно, по признаку параллельности прямых, прямая m также спроецируется на эту плоскость проекций в точку.

Строят точку, равноудаленную от сторон угла В₅А₅С₅D₅. Это и будет проекция прямой m₅. Проекцию прямой m₄ строят, проведя в плоскость П₄ линию связи от точки m₅. На прямой m₄ берут произвольную точку N₄ и, путем построения проекций этой точки на плоскостях П₁ и П₂, строят проекции прямой m₁ и m₂. Видимость граней угла и прямой m определяют методом конкурирующих точек.

Рисунок 3 – Пример решения задачи

Таблица 2 – Данные к задачам 3 и 4 (координаты, мм)

Вариант	А			В			С			D
	х	у	z	х	у	z	х	у	z	х	у	z
1	55	30	64	6	54	18	84	24	6	84	71	59
2	18	24	30	72	60	12	102	0	72	42	66	60
3	72	6	66	108	72	45	42	44	0	55	66	50
4	102	24	30	48	60	12	18	0	72	78	66	60
5	55	22	72	6	6	24	78	78	57	40	65	65
6	55	6	66	6	66	12	84	30	0	84	50	43
7	102	12	24	48	12	60	22	72	0	90	55	60
8	60	77	35	10	29	11	83	35	89	40	75	70
9	35	39	17	77	65	17	107	5	77	35	65	60
10	19	30	24	72	12	80	102	70	0	42	80	6
11	18	66	40	55	12	72	96	30	18	84	56	66
12	96	38	18	48	6	78	12	60	48	68	62	62
13	18	40	14	65	10	74	102	64	44	38	76	68
14	30	34	12	72	60	12	102	0	72	30	60	55
15	40	68	16	90	30	70	0	10	45	17	66	80
16	55	72	30	5	24	6	78	30	84	35	70	65
17	18	36	18	66	6	78	102	60	48	38	72	72
18	96	36	72	72	12	24	30	78	48	96	60	40
19	55	6	66	102	60	12	24	30	0	30	60	55
20	102	34	12	48	60	12	18	0	72	90	60	55
21	100	36	15	50	65	10	20	0	70	90	55	60
22	95	35	70	70	15	25	30	80	50	40	70	70
23	20	35	20	70	10	80	100	60	50	40	70	70
24	20	40	15	65	10	75	100	65	45	40	75	70