27 Что называется гибкостью стержня? От каких параметров сжатой стойки она зависит?

Понятие гибкости стержня: λ = μl / i_min. Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

Σкр = π2Е / λ2.

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

Σкр = π2Е / λ2 ≤ σпц,

где: σпц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

λ ≥ √( π2Е / σпц) = λпред (здесь √ - знак квадратного корня).

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.

Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λпред, т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:

Σкр = a – bλ,

где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σс = F / А.

28 В какой диапазоне гибкости можно использовать Эйлера? Как устанавливается предел ее применимости?

Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности, т. е. при условии:

Используя соотношение — наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:

Безразмерная величина X называется гибкостью стержня:

29 Какой вид имеет график зависимости критических напряжений от гибкости стержня?

График зависимости критических напряжений от гибкости стержня представлен на рисунке.

30 Какие формы поперечного сечения сжатого стержня являются рациональными с точки зрения устойчивости?

При проектировании стержней, работающих на устойчивость, следует выбирать такую форму сечения, чтобы гибкость стержня была одинаковой относительно обеих главных осей его сечения (условие равноустойчивости), а значит, максимальный и минимальный моменты инерции такого сечения должны быть одинаковы Jmax = Jmin. Кроме того, необходимо стремиться к получению при данной площади наибольших радиусов инерции. Для этого необходимо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести (трубчатые, коробчатые сечения). По степени рациональности известные сечения можно распределить следующим образом: трубчатое сечение, уголок, двутавр, швеллер, квадрат, круг, прямоугольник.

Вопросы к Задаче 6

31 Как записывают интеграл О.Мора для определения перемещений при изгибе?

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Формула для получения интеграла Мора:

32 Какова последовательность определения линейных и угловых перемещений с использованием интеграла О.Мора?

1. К вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота – единичный момент ;

2. для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной ( ) и вспомогательной ( ) балок;

3. вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;

- если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

33 Что означает знак «минус» вычисленного значения интеграла О.Мора?

Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.

34 В каких случаях при вычислении перемещений методом О.Мора можно применить формулу Симпсона? Как записывают формулу Симпсона?

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару   .

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

- крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния.