55. Представление целых и действительных чисел в позиционных системах счисления

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак (англ. sign), порядок (англ. exponent) и мантиссу (англ. mantis). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (  — если число положительное,   — если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса — в нормализованном виде (от 1 до 10), своей дробной частью в двоичной системе счисления. Знак — один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

, где   — знак,   — основание,   — порядок, а   — мантисса. Десятичное число, записываемое как  , где   — число в полуинтервале  ,   — степень, в которой стоит множитель  ; в нормализированной форме модуль   будет являться мантиссой, а   — порядком, а   будет равно   тогда и только тогда, когда   принимает отрицательное значение. Например, в числе 

•  = 

•  = 

•  = 

•  = 

Порядок также иногда называют экспонентой или просто показателем степени.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

56. Связь между системами счисления с основаниями вида 2k

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2, может производиться более простым алгоритмом. Для записи двоичных чисел используют две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Для записи восьмеричных чисел используется восемь цифр, то есть возможны восемь вариантов. А для записи шестнадцатеричных чисел используется 16 цифр, то есть 16 возможных вариантов.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то нужно его дополнить нулями слева.

Ну типа как на ЕГЭ.

Например, преобразуем дробное двоичное число А₂  = 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:

 

Двоичные триады	110	101
Восьмеричные цифры	6	5

 

Получаем: А₈ = 0,65₈.

57. Перевод целых и действительных чисел из одной позиционной системы в другую

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

A = a _n·pⁿ+a _n-1·p^n-1 +a _n-2·p^n-2+...+a ₁·p¹+ a₀·p⁰        (1),

A = a_n·pⁿ+a _n-1·p ^n-1+a _n-2·p ^n-2+…+a₁·p¹+a₀·p⁰+a_-1·p^-1+a _-2·p^-2+…+a_m-2·p^–(m–2)+a_m–1·p^–(m–1)+a_mp^–m     (2),

Следует понимать, что при переводе числа из одной системы счисления в другую количественное значение числа не изменяется, а меняется только форма записи числа, так же как при переводе названия числа, например, с русского языка на английский.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную выполняется непосредственным вычислением по формуле (1) для целых и формуле (2) для дробных чисел.

Перевести число из десятичной системы в систему с основанием p – значит найти коэффициенты в формуле (2). Иногда это легко сделать простым подбором. Например, пусть нужно перевести число 23,5 в восьмеричную систему. Нетрудно заметить, что 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8¹+7·8⁰+4·8^–1 =27,48. Понятно, что не всегда ответ столь очевиден. В общем случае применяется способ перевода отдельно целой и дробной частей числа.  

Для перевода целых чисел применяется следующий алгоритм (полученный на основании формулы (1)):

1. Найдем частное и остаток от деления числа на p. Остаток будет очередной цифрой ai (j=0,1,2 …) записи числа в новой системе счисления.

2. Если частное равно нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к частному пункт 1.

Замечание 1. Цифры ai в записи числа нумеруются справа налево.

Замечание 2. Если p>10, то необходимо ввести обозначения для цифр с числовыми значениями, большими или равными 10.

Пример:

Перевести число 165 в семеричную систему счисления.

165:7 = 23 (остаток 4) => a0 = 4

23:7 = 3 (остаток 2) => a1 = 2

3:7 = 0 (остаток 3) => a2 = 3

Выпишем результат: a₂a₁a₀, т.е. 3247.

Выполнив проверку по формуле (1), убедимся в правильности перевода:

3247=3·7²+2·7¹+4·7⁰=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

Для перевода дробных частей чисел применяется алгоритм, полученный на основании формулы (2):

1. Умножим дробную часть числа на p.

2. Целая часть результата будет очередной цифрой am (m = –1,–2, –3 …) записи  числа в новой системе счисления. Если дробная часть результата равна нулю, то перевод числа закончен, иначе применяем к ней пункт 1.

Замечание 1.  Цифры a_m в записи числа располагаются слева направо в порядке возрастания абсолютного значения m.

Замечание 2.  Обычно количество дробных разрядов в новой записи числа ограничивается заранее. Это позволяет выполнить приближенный перевод с заданной точностью. В случае бесконечных дробей такое ограничение обеспечивает конечность алгоритма.

Пример 1:

Перевести число 0,625 в двоичную систему счисления.

0,625·2 = 1,25 (целая часть 1) => a1 =1

0,25·2  = 0,5 (целая часть 0) => a2 = 0

0,5·2 = 1,00 (целая часть 1) => a3 = 1

Итак, 0,62510 = 0,1012

Выполнив проверку по формуле (2), убедимся в правильности перевода:

0,1012=1·2^-1+0·2-²+1·2^-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Ну, короче, как в ЕГЭ.