Свойства косвенной функции полезности
не возрастает по ценам, так как увеличение цен не может сделать доступным тот набор, который соответствует большей полезности;
не убывает по доходу, так как при возрастании дохода, как минимум, возможно потреблять прежний набор;
однородна нулевой степени по ценам и доходу; если цены и доход возрастут пропорционально на одну и ту же величину (идеальная инфляция), функция не изменится;
квазивыпукла относительно цен и дохода (p, w);
непрерывна во внутренних точках (в силу теоремы о максимуме).
Тождество Роя — в микроэкономике (теории потребления) — связь функции спроса (маршалловский спрос) и косвенной функции полезности. В теории потребления, косвенная функция полезности отражает максимальную полезность потребителя в зависимости от цен p и от дохода w. Функция называется косвенной, потому что обычно потребители рассматривают и оценивают наборы в зависимости от количества потреблённых товаров, а не от их цен.
10. Функции спроса по Хиксу, функция расходов и их свойства. Лемма Шепарда. Уравнения Слуцкого в эластичностях
В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называюткомпенсированным спросом. Если требуется узнать, как меняется объем спроса на товар по мере изменения его цены без учета эффекта дохода (только под воздействием эффекта замены), то следует построить кривую спроса по Хиксу. По Хиксу реальный доход измеряется полезностью приобретаемого набора товаров. Если после изменения цен потребитель может купить на весь свой доход набор, имеющий такую же полезность, что и прежний набор, то его благосостояние, т.е. реальный доход, не изменяется. При выделении эффекта замещения по Хиксу влияние дохода элиминируется тем, что вспомогательная бюджетная линия (на которой находится вспомогательный набор, разделяющий эффект замещения и эффект дохода) касается кривой безразличия, на которой находится первоначальный набор.
Компенсированный
спрос по Хиксу есть функция товара 
при
постоянной цене товара 
и
фиксированной полезности набора,
приобретаемого потребителем 
.
Функция расходов — в микроэкономике (теория потребления) — функция зависимости минимальных расходов потребителя от цен на блага и требуемой (минимальной) величины полезности или объёма благ с заданной полезностью. Представляет собой денежную оценку хиксианского спроса.
Лемма Шепарда - в микроэкономике (теория потребления) определяет связь функции расходов и хиксианского спроса. Сформулировано Шепардом Р.В (Shepard R.W.) в 1953 году. Пусть функция полезности u ( x ) {\displaystyle u(x)} u (x) дважды непрерывно дифференцируема, обладает свойствами локальной ненасыщаемости и сильной квазивогнутости. Цены p {\displaystyle p} p и доход R R {\displaystyle R} потребителя предполагаются положительными. Пусть также решение двойственной задачи потребителя внутреннее. Тогда выполнено h (p,x) = de (p,x) / dp
где h ( p , x ) {\displaystyle h(p,x)} h (p,x)- спрос Хикса (решение двойственной задачи потребителя; e ( p , x ) {\displaystyle e(p,x)} e (p,x)- функция расходов.
В микроэкономике уравнение Слуцкого — уравнение, смысл которого состоит в том, что изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из влияния непосредственного изменения спроса и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары. Данное уравнение показывает, что изменение в спросе на i-й товар при изменении цены j-го товара является результатом двух эффектов: эффекта замещения и эффекта дохода.
Математически уравнение Слуцкого выводится из дифференцирования маршалловского спроса на i-й товар по цене j-го товара с использованием того факта, что маршалловский спрос выражается через компенсированный спрос.