2.3 Невизначене рівняння третього степеня
Сума
кубів трьох цілих чисел може бути кубом
четвертого числа. Наприклад,
Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.
Спробуємо
знайти таке ж відношення, тобто поставимо
задачу: знайти розв’язки рівняння
.
Зручніше позначити невідоме 𝑢
через
.
Тоді рівняння буде мати більш простий
вигляд
.
Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв’язків цього рівняння в цілих (додатних та від’ємних)числах. Нехай 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 – дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число 𝑘, і спробуємо підібрати число 𝑘 так, щоб отримані числа
також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо 𝑘 таким чином, щоб виконувалась рівність
.
Розкривши дужки і знаючи, що 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 та 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності
,
,
ми отримаємо:
Або
Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для 𝑘. Перше значення, 𝑘=0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для 𝑘:
Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на 𝑘, де 𝑘 має вище вказане значення.
Для
того щоб застосувати цей прийом, треба
знати дві четвірки, що задовольняють
початкове рівняння. Одну таку четвірку
ми вже знаємо – (3, 4, 5,
).
За другу четвірку можна взяти числа
,
які очевидно, що задовольняють початкове
рівняння. Інакше кажучи, покладемо:
Тоді для 𝑘 ми отримаємо наступне значення:
а числа
будуть відповідно дорівнювати
Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння
.
Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких 𝑟 та 𝑠 ) наступні числа:
В
цьому можна впевнитись і безпосередньо,
піднісши ці вирази до кубу і додавши
їх. Надаючи 𝑟
та 𝑠
різні цілі значення, можемо отримати
цілий ряд цілочисельних розв’язків
нашого рівняння. Якщо при цьому отримані
числа будуть мати спільний множник, то
на нього ці числа можна поділити.
Наприклад, при 𝑟=1,
𝑠=1
отримуємо для 𝑥,
𝑦,
𝑧,
𝑡
наступні значення: 36, 6, 48,
,
або після скорочення на 6, значення 6, 1,
8,
.
Таким чином,
.
2.4 Теорема Лежандра
Розглянемо
невизначене рівняння
(11). Вперше знайшов розв’язки рівняння
(11) Лежандр, довівши наступну теорему:
Теорема 8.
Якщо 𝑎, 𝑏 і 𝑐 – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння
Має нетривіальні розв’язки в цілих числах 𝑥, 𝑦 і 𝑧, тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції
(12)
Доведення.
Необхідність умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.
Нехай
𝑝
– довільний непарний простий дільник
числа 𝑐.
Тоді із (12) випливає, що конгруенція
маж нетривіальний розв'язок, наприклад,
.
В такому випадку форма
розкладається по модулю 𝑝
на лінійні множники:
.
Такий
же розклад правильний для форми
,
тобто має місце рівність
,
(13)
де
- цілочисельні лінійні форми. Аналогічні
рівності мають місці і для непарних
простих дільників 𝑝
коефіцієнтів 𝑎
і 𝑏,
а також 𝑝
= 2, так, як
.
Знайдемо
тепер такі лінійні форми
,
щоб виконувались рівності
Для всіх простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎, 𝑏 і 𝑐. Тоді із рівності (13) отримаємо
,
(14)
Будемо
надавати змінним
цілі значення, які задовольняють умови
(15)
Якщо
виключити із розгляду тривіальний
випадок
(для нього твердження теореми очевидне),
то із того, що числа 𝑎,
𝑏
і 𝑐
є взаємно простими, випливає що не всі
числа
,
,
будуть цілими. Значить, число наборів
(𝑥,
𝑦,
𝑧),
що задовольняють умови (15), строго більше,
ніж
.
Розглянемо значення, які приймає лінійна
форма
при цих значеннях змінних. Так, як число
наборів (𝑥,
𝑦,
𝑧)
з умовою (15) більше числа лишків по модулю
𝑎𝑏𝑐,
то для двох різних наборів (
,
,
)
і (
,
,
)
маємо
𝑙(
,
,
)
Звідси,
в силу лінійності форми
,
отримаємо, що при
,
,
виконується конгруенція
𝑙(
,
,
)
.
Відповідно до (14),
(16)
Оскільки для наборів ( , , ) і ( , , ) виконується (15), то
,
Значить,
Остання нерівність сумісна із конгруенцією (16) лише в тому випадку, коли
або коли
Перший випадок дає нетривіальний розв'язок, ( , , ). У другому випадку існування нетривіального цілочисельного розв’язку рівняння (11) випливає із тотожності
Вище доведене дає ефективний алгоритм для знаходження нетривіального цілочисельного розв'язку рівняння (11).
Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь