§2. Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків

Приклад 1.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Розкладемо дане рівняння на множники таким чином:

оскільки розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа та також мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює 3, тому можливі випадки:

Отже, для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний трьом.

Відповідь: (0, 0), (1, ), ( ), ( ).

Приклад 2.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Аналогічно до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом розв’яжемо його.

Знаючи, що числа , цілі і в добутку дають , очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:

Отже маємо такі системи рівнянь:

Відповідь:

.

Приклад 3.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо наше рівняння вигляді:

Тепер розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно 𝑥:

Оскільки , маємо нерівність

Дискримінант набуватиме від’ємних значень при , тому 𝑦 належить проміжку . Враховуючи те, що 𝑦 є числом цілим, то він може набувати таких значень:

.

3наючи 𝑦, легко можемо знайти 𝑥:

при 𝑦=0, ,

.

при 𝑦=1,

0.

𝑥=0, 𝑥=2.

при 𝑦=2,

𝑥=1, 𝑥=2.

Відповідь: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Приклад 4.

Знайти всі розв’язки рівняння в цілих числах:

Розв'язок.

Нехай , де 𝑥, 𝑦, 𝑧 – цілі числа. Тоді число 𝑥 парне. Після заміни отримаємо рівняння

Скоротимо на 2:

Очевидно, що 𝑦 парне число. Після заміни отримаємо рівняння:

Знову скоротимо на 2:

З останнього рівняння бачимо, що 𝑧 парне число. Після заміни , отримаємо рівняння:

Отримали рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким же алгоритмом можемо довести, що парні, і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли .

Отже, в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок .

Приклад 5.

Знайти всі розв’язки рівняння в раціональних числах.

Розв'язок.

Очевидним є розв'язок , тому достатньо розглянути випадок, коли (випадок розглядується аналогічно).

Нехай , де – раціональне число. Тоді

тому 𝑘𝑦= , а значить

Нехай – нескоротний дріб. Тоді

та .

Числа 𝑝 і 𝑝+𝑞 взаємно прості, тому число 𝑦 може бути раціональним тільки тому випадку, коли 𝑝= і 𝑝+𝑞= для деяких натуральних 𝑎 та 𝑏. Припустимо, що Тоді

Приходимо, до суперечності, так, як між числами та не може знаходитись число . Тому 𝑞=1. Для будь-якого натурального 𝑝 числа

та раціональні і являються розв’язками рівняння . Ці числа будуть цілими лише при . В цьому випадку

Приклад 6.

Розв’язати в цілих числах рівняння

.

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді :

Або

,

Звідки

Таким чином дане рівняння розпадається на два :

Або

(1)

(2)

Так як , то в (1) невідомий корінь 𝑥 може набувати цілі значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм значення 𝑦 такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 7.

Розв’язати в цілих числах рівняння

Розв'язок.

Очевидно, що 𝑥 та 𝑧 не можуть бути від’ємними числами, так як при

а тому має вигляд що можливо лише при парних значеннях 𝑦. Але з умови випливає, що 𝑦 не може бути парним числом, якщо .

Якщо , то рівняння має вигляд

звідки

Нехай Маємо

Із цього рівняння випливає, що

або , де 𝑡 – натуральне число.

Оскільки і оскільки 𝑦 – непарне число, то 𝑧 – парне число або .

Нехай Тоді , або , звідки

, . Тому або тобто , звідки і тому

Якщо ж , то 𝑥 довільне, 𝑎 𝑦 . І так, при ми маємо, крім тривіального розв'язку , де 𝛼 – будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:

При . Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних значеннях z рівняння зводиться до вигляду:

Отже, рівняння має тривіальний розв'язок де 𝛼 – будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:

Приклад 8.

Розв’язати в натуральних числах рівняння

Розв'язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді:

або

Оскільки дільниками числа 7 є лише числа то шукані числа 𝑥 та 𝑦 треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:

Перша система має єдиний розв'язок в натуральних числах третя система має також єдиний розв'язок в натуральних числах Друга та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах: .

Приклад 9.

Розв’язати в цілих числах рівняння:

Розв'язок.

Ні одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності

неможливі при натуральних 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛.

Легко перевірити, що . Отже, 𝑥, 𝑦 – натуральні. Із умови випливає:

або

або

Число – парне, якщо

Якщо , то , а тому із умови маємо

тобто,

Таким чином, - розв'язок даного рівняння.

Якщо ж повинно містити парну кількість доданків, а тому 𝑥 – парне число; нехай . Тоді

або ,

або .

Якщо 𝑧 – непарне число, то - непарне число, що можливо лише при тобто .

Тоді з умови маємо

тому - другий розв'язок даного рівняння.

Якщо ж 𝑧 – парне число, тобто , то , а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:

або ;

тому

останнє рівняння не має розв’язків, так як ділиться на 5, а не ділиться на 5.

Відповідь: (1, 1), (2, 3).

Приклад 10.

Розв’язати в натуральних числах рівняння:

Розв'язок.

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

(1)

Якщо то , а тому , тобто ; відповідно, при має місце нерівність

(2)

Якщо , то , а тому ; значить, при має місце нерівність

(3)

Об’єднуючи нерівності (2) і(3), отримуємо, що при ліва частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.

Отже, при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння 𝑥 має дорівнювати 1 або 2, а 𝑦 = 1. Підстановкою впевнюємось, що лише 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.

Відповідь: (2, 1).

Приклад 11.

Розв’язати в цілих додатних числах систему рівнянь:

Розв'язок.

Додавши два рівняння системи, отримаємо

Звідки

(1)

Віднімаючи друге рівняння системи від першого, отримаємо

звідки

(2)

Помноживши дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1), отримаємо

(3)

Таким чином, із (2) та (3) випливає:

.

Оскільки , можливі лише два випадки:

а)

Відповідь: (4, 3, 1), (8, 1, 2).

Приклад 12.

Показати, що система рівнянь

має єдиний розв'язок

Розв'язок.

Так, як , то перше рівняння системи можна переписати у вигляді .

Оскільки (в означенням) , поділивши дві частини рівняння на добуток , отримаємо рівносильне йому рівняння

Оскільки

є цілим числом, то і сума повинна бути цілим числом. Останнє можливо лише в п’яти випадках:

Виконавши перевірку, впевнимося в тому, що тільки задовольняє дану систему. Отже, система має єдиний розв'язок (1 ,1 ,2 ).

Висновок

У даній курсовій роботі розглядались діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких рівнянь та показати різні методи їх розв’язання.

Для окремих невизначених рівнянь існують відомі алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків, або алгоритми, що показують їх відсутність. Саме на такі рівняння акцентувалась увага у курсовій роботі.

При написанні курсової роботи я дізналась про різні методи знаходження розв’язків невизначених рівнянь. Розглянула цікаві діофантові рівняння для яких існують розв’язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв’язки, або показувати, що їх не існує.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв’язків визначати їх кількість.

Література:

1. Айєрленд К. А., Роузен М. Класическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987. – 416 с.

2. Бухштаб А. А. Теорія чисел. – М.: Просвещение, 1996. – 284 с.

3. Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарной математике. – М.: Гостехиздат, 1965. – 367 с.

4. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1967. - 200 с.

5. Прасолов В. В. Многочлены. – М.: Наука, 2001. – 336 с.

6. Шклярский Д .О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы алгебры и теории чисел (арифметика). – М.: Гостехиздат, 1950. – 382 с.

Шнирельман Л. Г. Простые числа. – М.: Гостехиздат, 1940. – 178с.