§1. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь

Задача1. Розв’язати лінійне діофантове рівняння:

3𝑥 .

Хоча одне рівняння з двома невідомими має нескінченне число розв’язків, неочевидно, що знайдеться хоча б одне з цілими додатними 𝑥 та 𝑦.

Знаючи, що 𝑥 та 𝑦 є цілими і додатними розв’яжемо це рівняння. Виділимо невідоме, коефіцієнт, якого менший, отримаємо:

,

звідки

.

Оскільки 𝑥, 6 і 𝑦 – цілі числа, то рівність може бути вірною лише за умови, що є цілим числом. Позначимо його буквою 𝑡. Тоді

,

де

,

і значить,

Із останнього рівняння визначаємо 𝑦:

.

Оскільки 𝑦 та 𝑡 – цілі числа, то і повинно бути деяким цілим числом . Тоді,

,

причому

звідки

+1.

Значення +1 підставимо в попередні рівності:

.

І так, для 𝑥 та 𝑦 ми знайшли представлення:

,

Взагалі кажучи, ми довели тільки те, що всякий цілочисельний розв'язок рівняння , має вигляд , , де - деяке ціле число. Доведення того, що при довільному цілому ми отримаємо деякий цілочисельний розв'язок даного рівняння, випливає, якщо провести аналогічні міркування в зворотному напрямку, підставивши знайдені значення 𝑥 та 𝑦 в початкове рівняння.

Оскільки , то і

,

З цих нерівностей знаходимо:

Цим самим величина обмежується; вона більша за (а значить і більша за ). Але оскільки - ціле і додатне число, то можна стверджувати, що для нього можливі лише наступні значення:

Тоді відповідні значення для 𝑥 та 𝑦 будуть такими:

,

Формули для визначають розв’язки даного рівняння у цілих невідємниних числах.

Задача2. Розв’язати систему лінійних діофантових рівнянь:

Розв'язок:

Віднявши друге рівняння від першого, отримаємо одне рівняння з двома невідомими:

Знаходимо 𝑦:

Очевидно, - ціле число. Позначимо його через 𝑡. Маємо:

Підставляємо вирази для 𝑦 та 𝑧 у друге із початкових рівнянь:

Отримаємо:

Так як неважко встановити межі для 𝑡:

,

З цього можемо зробити висновок, що для 𝑡 можливі тільки два цілих значення: 𝑡=0, 𝑡=1.

Відповідні значення 𝑥, 𝑦 і 𝑧 будуть такими:

𝑡=0	0	1
𝑥=0	20	28
𝑦=0	20	0
𝑧=0	0	3

Перевірка

Задача3.

Вміння розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний фокус.

Якщо помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму, то за такою сумою можна визначити дату народження.

Якщо, наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:

За останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.

Задача зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими

у цілих, додатних числах, причому число місяця 𝑥 не більше 31, а номер місяця 𝑦 не більше 12.

Знаючи, що і , знаходимо межі для

Отже , 𝑥=9, 𝑦=2.

Таким чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.

Задача4.

Над двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:

1. Їх додали;

2. Відняли від більшого менше;

3. Перемножили;

4. Поділили більше на менше.

Отримані результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.

Розв'язок.

Якщо більше число 𝑥, а менше число 𝑦, то

Якщо рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести подібні доданки, то отримаємо:

Але Тому

Щоб 𝑥 було цілим числом, знаменник повинен бути одним із дільників числа 243 (тому що 𝑦 не може мати спільні множники із 𝑦+1). Знаючи, що 243= , можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними квадратами: 1, , . І так, повинно дорівнювати 1, або , звідки знаходимо 𝑦 (додатне), що дорівнює 8 або 2.

Тоді 𝑥 дорівнює

Тому шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.

Задача5.

Числа 46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх цифри місцями, тобто

Потрібно встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як знайти ці всі числа?

Розв'язок.

Позначимо цифри шуканих чисел через 𝑥 і 𝑦, 𝑧 і 𝑡, отримаємо рівняння:

Розкривши дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:

де 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 – цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі пари з рівними добутками:

Всіх рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел. Наприклад, із рівності саємо один розв'язок:

Із рівності знаходимо два розв’язки:

Аналогічно знаходимо наступні 14 розв’язків: