Глава 2 Интегралы, ряды, дифференциальные уравнения

§ 1. Интегралы

Рассматриваются следующие задачи: вычисление неопределенного интеграла, определенного интеграла, вычисление площадей плоских фигур.

Задача 40. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся основными свойствами неопределенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла) и применим формулы (2), (3) и (1) из таблицы интегралов [приложение 5]:

.

Задача 41. Вычислить интеграл .

Решение. Данный интеграл является определенным. Для его вычисления необходимо воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница [приложение 5]

.

Тогда в соответствии с формулой (2) [приложение 5] имеем

.

Задача 42. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (7) [приложение 5], если сделать замену переменной, приняв 3х = t. Дифференцируя обе части равенства, получим

, или .

Так как интеграл определенный, необходимо также изменить пределы интегрирования. При этом получим

=

.

Замечание. Задачу можно было решить, используя правило: если

, то .

В данном случае так как

, то ,

Поэтому .

Задача 43. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (3) [приложение 5] , если выполнить замену: t = 5х – 1. Тогда

.

Задача 44. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (2) [приложение 5], если сделать замену переменной: t = 2х + 7.

Но можно использовать замечание к задаче 42. В этом случае поскольку , имеем

.

Задача 45. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (9) [приложение 5] с помощью замены t = х / 5:

.

Задача 46. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (4) [приложение 5] заменой t = 6х. Так как интеграл определенный, изменяем и пределы интегрирования:

=

.

Задача 47. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где P_n(x) – многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям [приложение 5]

Если за и принять многочлен P_n(x), то в результате применения формулы интегрирования по частям интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим Найдем :

(формула интегрирования (5) [приложение 5]). Тогда

.

Задача 48. Вычислить интеграл .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , , (P_n(x) – многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям [приложение 5].

В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции .

Итак, положим

Тогда

.

Получаем

.

Задача 49. Вычислить интеграл .

Решение. Для определенного интеграла также применима формула интегрирования по частям

Положим , (см. задачу 47). Тогда

и

(формула интегрирования (6) [приложение 5]).

Итак,

.

Задача 50. Вычислить интеграл .

Решение. Это интеграл вида с чётными m и n (в данном случае ) и вычисляется с помощью формул тригонометрии [приложение 5].

Воспользуемся формулой понижения степени [приложение 5]

,

получим

(формулы интегрирования (1), (7) [приложение 5]).

Задача 51. Вычислить .

Решение. Применяя тригонометрическую формулу [приложение 5]

,

получим

(формула интегрирования (6) [приложение 5]).

Задача 52. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями , y = x – 1, x = 0, x = 2.

Решение. Площадь области D, ограниченной линиями , , x = а, x = b (рис. 4), вычисляется по формуле

.

Построим заданную область D (рис. 5). Слева область ограничена прямой , справа – прямой , снизу – прямой , сверху – параболой .

Подставляя все данные в формулу, найдем площадь области D:

(кв. ед.)

З адача 53. Вычислить площадь области D, ограниченной линиями , y = 0, x = 1, x = 3.

Решение. Построим заданную область D (рис. 6), ограниченную слева – прямой , справа – прямой , снизу – параболой , сверху – прямой .

Подставляя все данные в формулу площади (см. задачу 52), получим

(кв. ед.)