§ 3. Дифференциальные уравнения

Рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные), однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, задача Коши.

Задача 66. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уравнение, содержащее переменную, функцию этой переменной, а также производные этой функции, называется дифференциальным. Решить дифференциальное уравнение – значит найти функцию у(х), обращающую уравнение в тождество.

В данном уравнении можно разделить переменные, то есть с помощью преобразований сделать так, чтобы в одной части было выражение, зависящее только от х, а в другой – только от у. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Перепишем уравнение, используя другое обозначение для производной: . Получим

.

Разделим переменные, умножив уравнение на выражение . Это приведет к равенству

.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

,

вычислим интегралы с помощью формул интегрирования (4) и (2) [приложение 5]

и выразим у .

Получившееся выражение называется общим решением дифференциального уравнения.

Задача 67. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное дифференциальное уравнение также относится к уравнениям с разделяющимися переменными и решается аналогично задаче 66. Перепишем уравнение в виде

.

Разделим переменные, умножив обе части уравнения на :

.

В результате вычисления интегралов

по формулам интегрирования (16) и (8) [приложение 5] получим

.

Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

.

Задача 68. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка вида

.

Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки

,

где u(x) и v(x) – две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение

и ,

получим

, или .

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

.

При этом исходное дифференциальное уравнение примет вид

.

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

,

, .

Интегрируя, находим

,

, или

(формулы интегрирования (3), (2) [приложение 5]).

Взяв в качестве , преобразуем уравнение :

, откуда .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и

, ,

,

(формулы интегрирования (1), (2) [приложение 5]).

Возвращаясь к функции у, получим общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Задача 69. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение относится к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка вида и решается заменой (здесь – новая функция), приводящей его к уравнению с разделяющимися переменными. Выполняя замену, получим

,

Исходное уравнение примет вид

,

Разделяем переменные и интегрируем

, ,

.

Согласно формулам интегрирования (15), (3) [приложение 5] имеем

,

Выполнив обратную замену, получаем решение исходного уравнения, записанное в неявном виде, то есть общий интеграл дифференциального уравнения

.

Задача 70. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к однородным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Этому уравнению соответствует так называемое характеристическое уравнение

,

от корней k₁ и k₂ которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения. При этом

1) если k₁ и k₂ – действительны и различны (дискриминант D > 0, ), общее решение дифференциального уравнения имеет вид

,

то есть каждому корню соответствует слагаемое вида ;

2) если k₁ и k₂ – действительные и равные (дискриминант D = 0, k₁ = k₂ = k), общее решение дифференциального уравнения имеет вид

, или ;

3) если k₁ и k₂ – комплексные (дискриминант D < 0, ) общее решение дифференциального уравнения в этом случае будет иметь вид

.

Составляя характеристическое уравнение для заданного дифференциального уравнения , получим

.

Оно имеет два различных действительных корня k₁ = 1 и k₂ = 2 (случай 1). Поэтому общее решение будет записано в виде

.

Задача 71. Найти общее решение уравнения .

Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение

.

Оно имеет два равных корня k₁ = k₂ = 3 (случай 2). Поэтому общее решение есть

, или .

Задача 72. Найти общее решение уравнения .

Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение

.

Дискриминант этого уравнения отрицательный (случай 3)

.

Это означает, что уравнение имеет комплексные корни

,

где – мнимая единица, такая, что .

Так как , , общим решением будет

.

Задача 73. Найти общее решение уравнения .

Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение

,

откуда получаем: (корни комплексные – случай 3). Здесь , , значит, общее решение имеет вид

.

Задача 74. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами и решается аналогично уравнениям второго порядка (см. задачу 70). Его характеристическое уравнение

, или

, откуда

.

Паре корней соответствует решение

Корню соответствует решение

.

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

.

Задача 75. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям: , .

Решение. Дифференциальное уравнение вида

решается n–кратным последовательным интегрированием:

,

и т.д.

В данном случае , поэтому интегрируем два раза. При этом получим (формула интегрирования (2) [приложение 5])

.

Подставив начальное условие , найдем константу С₁:

, .

Тогда уравнение примет вид

.

Еще раз проинтегрируем:

.

Подставив начальное условие , найдем константу С₂:

, .

Значит, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

.

Задача 76. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , .

Решение. Данное дифференциальное уравнение решается аналогично задаче 75. Проинтегрировав первый раз, получим

(формула интегрирования (4) [приложение 5]).

Подставив начальное условие , найдем константу С₁

, .

Уравнение примет вид

.

Еще раз проинтегрируем, получим

.

Подставив начальное условие , найдем константу :

, .

Итак, частное решение дифференциального уравнения имеет вид

.