§ 3. Теория вероятностей

Рассматриваются задачи по темам: алгебра событий; формула полной вероятности; дискретная случайная величина и ее характеристики; непрерывная случайная величина и ее характеристики; распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.

Задача 88. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень

а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один;

в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим А₁, А₂ и А₃ − попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а , и − непопадания для этих же стрелков. Так как произведение событий есть событие, состоящее в совместном появлении перемножаемых величин, то А₁А₂А₃ означает три попадания, а − три промаха.

События А₁, А₂, А₃ независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей

.

События А₁ и − противоположные события, значит удовлетворяют соотношению

.

Но тогда . Аналогично,

, .

Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна

.

Рассмотрим случай в). Искомое событие − попадет ровно один стрелок − состоит в появлении одного из событий:

(первый попал в мишень, а второй и третий промахнулись),

(второй попал, а два других промахнулись),

(третий попал, остальные − нет).

Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно

.

Слагаемые этой суммы − несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна

.

Рассматривая случай г), обозначим В − событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть , а его вероятность уже найдена (случай б)).

Итак,

и .

Задача 89. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

Решение. Обозначим А − событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы):

Н₁ − деталь изготовлена на заводе №1,

Н₂ − деталь изготовлена на заводе №2,

Н₃ − деталь изготовлена на заводе №3.

Вероятности этих гипотез равны

, , .

По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)

.

Здесь − вероятность того, что взятая деталь является бракованной при условии, что она изготовлена на заводе №1. Согласно условию задачи . Аналогично, , .

Но тогда

.

Задача 90. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	1	3
р	0,8	р2

Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х.

Решение. Найдем р₂ из условия

.

Получим

.

Для дискретной случайной величины

, .

Поэтому

,

.

Задача 91. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Х	1		5
р	р1	0,3	0,4

Найти х₂, если М(Х) = 2,9.

Решение. Так как , то

.

В формулу математического ожидания

подставим известные значения и найдем х₂

,

,

.

Задача 92. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х:

Найти .

Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [a, b] определяется формулой

.

Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда

.

Задача 93. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти М(Х), D(Х).

Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле

.

Получим

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам

, .

Получаем

,

.

Задача 94. Случайная величина Х − число появлений события А в n испытаниях − распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М(Х) = 4 и дисперсией D(Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании.

Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы

М(Х) = np, D(Х) = npq,

где р − вероятность появления события А в каждом испытании, а q – вероятность противоположного события, q =1 − p.

Имеем: np = 4, npq = 3.

Разделив второе равенство на первое, найдем q:

, отсюда .

Задача 95. Найти дисперсию случайной величины Х − числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М(Х) = 2.

Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда

М(Х) = np, D(Х) = npq.

Из первого равенства найдем

.

Тогда ,

значит, .

Задача 96. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М(Х) = 2 см, D(Х) = 0,25 см². Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.

Решение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку , равна

,

где − функция Лапласа,

− среднее квадратическое отклонение ( ).

Поэтому

или, с учетом нечетности функции Лапласа,

(значения функции Лапласа можно найти в таблице приложений – см. библ. список [2, 3]).

Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных − 18,15%.

Задача 97. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно «правилу » попадет снаряд с вероятностью 0,9973.

Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок (см. задачу 96) принять , , окажется, что

.

Это и есть «правило » − более 99,7% значений случайной величины попадут в интервал радиуса , симметричный относительно математического ожидания.

С учетом данных задачи получим

.

Приложение 1