Приложение в. Пример проверки адекватности математической модели динамики объекта с применением расчетов в среде Mathcad
Приложение г. Пример проверки адекватности математической модели статики объекта по критерию Фишера в среде Mathcad
Приложение д. Пример проверки значимости коэффициентов математической модели статики объекта по критерию Стьюдента в среде Mathcad
Салимжан Егемкулович Тасанбаев
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Практикум по дисциплине
для студентов специальности 5В070200 «Автоматизация и управление»
Редактор _____________________
Подписано в печать «__» ____2017.
Формат бумаги XxY 1/16
Бумага типографская. Печать офсетная. Объем 7 п.л.
Тираж ___ экз. Заказ № ___
© Издание Южно-Казахстанского государственного университета
им. М.Ауезова
Издательский центр ЮКГУ им. М.Ауезова, г. Шымкент, пр. Тауке-хана, 5
Лабораторная работа № 8.
Нелинейные модели. Коэффициент детерминации.
Цель работы – научиться строить нелинейные модели и находить коэффициент детерминации.
Основные сведения
Если между явлениями, процессами существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например:
полиномы различных степеней ŷx = a + b∙x + c∙x2;
равносторонняя гипербола ŷx = a + b/x;
полулогарифмическая функция ŷx = a + b∙ln x.
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например:li>
стстепенная ŷx = a∙xb;
показательная ŷx = a∙bx;
экспоненциальная .ŷx = ℮a+b∙x
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.p>
Равносторонняя гипербола ŷx = a + b/x может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы (например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля) и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: z = 1/x . Тогда у = a + b z, где коэффициенты находятся из формул:
a = y – bz .
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости,
и
другие.
Регрессия в виде полулогарифмической функции имеет вид:
.
Для оценки параметров она приводится к линейному виду путем замены Х Х = ln x. Тогда y = a + bX, где
.
p>
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная функция –
,
показательная –
,
экспоненциальная
–
,
обратная –
.
К
внутренне нелинейным моделям можно,
например, отнести следующие модели:
,
.
Регрессия в виде степенной функции имеет вид: у = ахb.
Для нахождения параметров регрессии у = ахb необходимо провести ее линеаризацию:
Y=A + bX, где Y = ln y, X = ln x, A = ln a,
.
После потенцирования получаем: у = eA • хb.
Построению
уравнения показательной кривой у = аbх
предшествует процедура линеаризации
переменных: ln y = ln a + x ln b, Y = A+Bx, где Y = ln
y, В = ln b, A = ln a,
,
.
Затем потенцированием находим искомое уравнение. Искомое уравнение будет у = (eA)•(eB)x.
Регрессия в виде экспоненты имеет вид: у = аеbх
Для
оценки параметров уравнение приводится
к линейному виду: ln y = ln a + bx; Y = A + bx, где
Y = ln y, A= ln a,
.
Затем потенцированием находим искомое уравнение. Искомое уравнение будет у = eA•ebx.
Регрессия
в виде обратной функции имеет вид:
.
Для оценки параметров она приводится
к линейному виду путем замены Y = 1/y. Тогда
Y = a + bx, где
,
.
В
случае нелинейной зависимости тесноту
связи между величинами оценивают по
величине корреляционного отношения:
.
Интервал
изменения корреляционного отношения
Коэффициент
детерминации
–
квадрат индекса корреляции – характеризует
долю дисперсии, объясняемую регрессией,
в общей дисперсии результативного
признака у.
.
Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем выше качество уравнения регрессии, тем в большей мере оно объясняет поведение отклика.
Порядок выполнения работы.
Используя данные своего варианта, построить линейную, степенную, показательную, экспоненциальную, полулогарифмическую, гиперболическую и обратную модели и с помощью коэффициента детерминации сравнить эти модели. Для чего необходимо:
Найти уравнение регрессии.
Найти общую сумму квадратов отклонений и остаточную сумму квадратов отклонений.
Найти коэффициент детерминации.
Найти параметры регрессии с помощью статистической функции ЛИНЕЙН.
Пример выполнения лабораторной работы.
Создадим новую рабочую книгу с семью листами. |
|
Название листа |
Назначение |
Линейная |
Для анализа линейной модели |
Степенная |
Для анализа степенной модели |
Показательная |
Для анализа показательной модели |
Обратная |
Для анализа обратной модели |
Полулогарифмическая |
Для анализа полулогарифмической модели |
Гиперболическая |
Для анализа гиперболической модели |
Экспоненциальная |
Для анализа экспоненциальной модели |
1. Лист Линейная оформим, как показано на рис. 8.1:
Рис.
8.1. Лист Линейная
На этом листе коэффициенты линейной регрессии определяются с помощью статистических функций:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
В16 |
=НАКЛОН(С3:C11;B3:B11) |
Коэффициент b |
А16 |
=ОТРЕЗОК(C3:C11;B3:B11) |
Коэффициент a |
Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии. Порядок вычислений следующий:
выделите область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2 столбца) с целью вывода результатов регрессионной статистики (А19:В23);
в главном меню выберите Вставка/Функция;
в строке Категория (рис. 8.2) выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните ОК.
Рис.8.2.
Диалоговое окно «Мастер функций».
Заполните аргументы функции (рис. 8.3.):
Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;
Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;
Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0.
Статистика – логическое значение, которое указывает выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводится только оценки параметров уравнения. Далее ОК.
Рис.8.3.
Диалоговое окно ввода аргументов функции
ЛИНЕЙН
В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу F2, а затем – на комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. ��ополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:
Значение коэффициента b |
Значение коэффициента а |
Среднеквадратическое отклонение b |
Среднеквадратическое отклонение а |
Коэффициент детерминации R2 |
Среднеквадратическое отклонение у |
F-статистика |
Число степеней свободы |
Регрессионная сумма квадратов |
Остаточная сумма квадратов. |
Результаты регрессионного анализа представлены на рис.8.4.
Рис.8.4.Результаты
регрессионного анализа.
Для расчета сумм, которые понадобятся при определении коэффициента детерминации (и при выполнении следующей лабораторной работы), введем формулы:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
Е3 |
=$A$16+$B$16*B3 |
Расчет теоретических значений результата уm. Копируем в диапазон Е3:Е11 |
F3 |
=(C3-$C$12)^2 |
Копируем в диапазон F3:F11 |
G3 |
=(C3-E3)^2 |
Копируем в диапазон G3:G11 |
Н3 |
=(E3-$C$12)^2 |
Копируем в диапазон H3:H11 |
F12 |
=СУММ(F3:F11) |
Копируем в диапазон F12:H12 |
Замечание. В приведенных формулах неоднократно используется абсолютная адресация, содержащая знак «$». Это необходимо для того, чтобы при копировании формул данный адрес не изменялся. Для того чтобы превратить относительный адрес А16 в абсолютный ($A$16), достаточно нажать клавишу F4 в то время, когда курсор находится на ячейке А16.
Для вычисления коэффициента детерминации в ячейку Н15 введем формулу: =1-G12/F12.
2. Регрессия в виде степенной функции имеет вид: у = ахb.
Для нахождения параметров регрессии у = ахb необходимо провести ее линеаризацию: Y = A + bX, где Y = ln y, X = ln x, A = ln a.
Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных (рис. 8.5):
Рис.
8.5 Лист Степенная
Вводим формулы:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
D3 |
=LN(C3) |
Y=ln y Копируем в диапазон D3:D11 |
E3 |
=LN(B3) |
X=ln x Копируем в диапазон E3:E11 |
F3 |
=D3*E3 |
Копируем в диапазон F3:F11 |
G3 |
=E3^2 |
Копируем в диапазон G3:G11 |
D12 |
=СРЗНАЧ(D3:D11) |
Копируем в диапазон D12:G12 |
Для вычисления коэффициентов регрессии введем следующие формулы:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
В16 |
=(F12-E12*D12)/(G12-E12^2) |
b |
А16 |
=D12-B16*E12 |
A |
После потенцирования находим искомые коэффициенты регрессии:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
А19 |
=EXP(A16) |
a |
В19 |
=B16 |
b |
Тогда уравнение регрессии будет иметь вид: у=4,02х0,75.
Для расчета сумм введем формулы:
Ячейка |
Формула |
Примечание |
I3 |
=$A$19*B3^$B$19 |
Расчет теоретических значений результата уm. Копируем в диапазон I3:I11 |
J3 |
=(C3-$C$12)^2 |
Копируем в диапазон J3:J11 |
K3 |
=(C3-E3)^2 |
Копируем в диапазон K3:K11 |
L3 |
=(E3-$C$12)^2 |
Копируем в диапазон L3:L11 |
J12 |
=СУММ(J3:J11) |
Копируем в диапазон J12:L12 |
Для вычисления коэффициента детерминации в ячейку L15 введем формулу: =1-K12/J12.
Проведем расчеты параметров регрессии с помощью статистической функции ЛИНЕЙН.
Выделим диапазон А22:В26. введем формулу =ЛИНЕЙН(D3:D11;E3:E11;1;1).
В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу F2, а затем – на комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
3. Расчеты на остальных листах во многом повторяют расчеты, произведенные на листе Степенная, поэтому остальные листы лучше всего получить копированием листа Степенная.
Для этого необходимо:
находясь на листе Степенная, выделить его полностью, щелкнув мышью на пересечении названий столбцов и строк; с помощью кнопки (Копировать) скопировать лист в Буфер обмена;
перейти на следующий лист и выделив ячейку А1,щелкнуть мышью по кнопке (Вставить).
Получим следующие результаты:
Рис.
8.6. Лист Показательная
Рис.
8.7. Лист Обратная
Рис.
8.8. Лист Полулогарифмическая
Рис.
8.9. Лист Гиперболическая
Рис.
8.10. Лист Экспоненциальная
Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице (табл. 8.1).
Все уравнения регрессии достаточно хорошо описывают исходные данные. Некоторое предпочтение можно отдать показательной или экспоненциальной функции, для которых значение коэффициента детерминации наибольшее.
Таблица 8.1. |
||
Вид регрессии |
Уравнение регрессии |
Коэффициент детерминации |
Линейная |
у= 7.9 + 1.47х |
0.9335 |
Степенная |
у=4.03х0.75 |
0.9283 |
Показательная |
у=15.83•1.04х |
0.9353 |
Обратная |
у=1/(0.05–0.0012х) |
0.9145 |
Полулогарифмическая |
у=–39.74+26.07ln x |
0.9060 |
Гиперболическая |
у=60.41–425.79/х |
0.8528 |
Экспоненциальная |
у=15.83е0,0417х |
0.9353 |
Схема отчета по лабораторной работе.
Используя данные своего варианта, построены линейная, степенная, показательная, экспоненциальная, полулогарифмическая, гиперболическая и обратная модели. Для каждой модели приведены:
cравнение регрессии;
найдены суммы квадратов отклонений;
найден коэффициент детерминации;
найдены параметры регрессии с помощью статистической функции ЛИНЕЙН;
выводы.
Варианты заданий.
Вариант |
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 |
X |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
11 |
13 |
18 |
17 |
22 |
21 |
25 |
Y |
10 |
11 |
12 |
13 |
16 |
18 |
20 |
21 |
23 |
25 |
28 |
27 |
29 |
30 |
32 |
|
2 |
X |
33 |
32 |
34 |
35 |
36 |
40 |
41 |
45 |
46 |
48 |
49 |
47 |
49 |
51 |
52 |
Y |
24 |
25 |
26 |
28 |
31 |
34 |
35 |
35 |
36 |
38 |
39 |
42 |
45 |
46 |
48 |
|
3 |
X |
5 |
9 |
8 |
10 |
14 |
15 |
14 |
15 |
18 |
19 |
20 |
20 |
21 |
23 |
25 |
Y |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
11 |
12 |
11 |
13 |
18 |
19 |
22 |
21 |
25 |
|
4 |
X |
4 |
7 |
8 |
10 |
12 |
15 |
2 |
16 |
18 |
19 |
20 |
20 |
21 |
23 |
25 |
Y |
21 |
24 |
25 |
26 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
36 |
37 |
37 |
38 |
40 |
|
5 |
X |
4 |
7 |
8 |
10 |
12 |
15 |
14 |
16 |
18 |
19 |
20 |
20 |
21 |
23 |
25 |
Y |
21 |
24 |
25 |
26 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
36 |
37 |
37 |
38 |
40 |
|
6 |
X |
24 |
25 |
26 |
28 |
31 |
34 |
35 |
35 |
36 |
38 |
39 |
42 |
45 |
46 |
48 |
Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
7 |
X |
33 |
35 |
36 |
38 |
40 |
41 |
45 |
46 |
46 |
47 |
49 |
42 |
50 |
51 |
52 |
Y |
5 |
9 |
8 |
10 |
12 |
15 |
14 |
16 |
18 |
19 |
20 |
20 |
21 |
23 |
25 |
|
8 |
X |
12 |
11 |
13 |
15 |
14 |
16 |
18 |
19 |
21 |
23 |
22 |
26 |
27 |
29 |
28 |
Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
9 |
X |
21 |
24 |
25 |
26 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
36 |
37 |
37 |
38 |
40 |
Y |
5 |
7 |
8 |
11 |
12 |
15 |
14 |
16 |
18 |
19 |
20 |
21 |
25 |
26 |
28 |
|
10 |
X |
10 |
11 |
12 |
13 |
16 |
18 |
20 |
21 |
23 |
25 |
28 |
27 |
29 |
30 |
32 |
Y |
21 |
23 |
25 |
27 |
28 |
29 |
30 |
32 |
35 |
36 |
38 |
39 |
41 |
42 |
45 |