Лабораторная работа №2 «Однофакторный дисперсионный анализ объекта»

2.1 Цели и задачи работы

Целью работы является проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий для каждой конкретной серии опытов. Студент должен уметь применить знания, полученные при изучении темы «Определение параметров регрессионной модели. Однофакторный дисперсионный анализ объекта управления». Литература [1-10]

2.2 Содержание работы

Теоретические основы:

В любом эксперименте среднее значение наблюдаемых величин меняется в связи с изменением входных факторов, определяющих условия эксперимента, а также и случайных факторов (помех).

Исследование влияния тех или иных факторов на изменчивость средних значений является задачей дисперсионного анализа.

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами.

Для того чтобы определить значимо ли влияние данного фактора необходимо оценить значимость соответствующей выборочной дисперсии в соответствии с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайными факторами.

Предположим, что результат эксперимента зависит от некоторого одиночного фактора А, который принимает n различных значений (n-количество серий опытов). Для каждой серии опытов проводится m повторных наблюдений, результаты которых можно записать в следующем виде:

Y11 Y12 Y13 ... Y1m

Y21 Y22 Y23 ... Y2m

Y31 Y32 Y33 ... Y3m

... ... ... ... ...

Yn1 Yn2 Yn3 ... Ynm

На основе полученных статистических данных требуется проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий для каждой конкретной серии. Если проверяемая гипотеза верна, то средние арифметические значения для всех серий практически не отличаются друг от друга, в противном случае предполагаемая гипотеза должна быть отвергнута.

Обозначим через среднее значение i-й серии опытов, а через общее среднее значение для всех наблюдений:

(2.1)

Сущность дисперсионного анализа состоит в разложении суммы квадратов отклонений отдельных Yij от общего среднего на две суммы:

Q - определяет общее отклонение значения каждого опыта (Yij) от среднего;

Q_А - характеризует рассеяние, вызванное фактором А (выражение во вторых фигурных скобках);

Qост - характеризует рассеяние вызванное случайными помехами (выражение в первых фигурных скобках).

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующие степени свободы получим следующие дисперсии:

σ² = Q/f

σ_А²= Q_A/f1 (2.2)

σ_ОСТ² = Qост/f2

Число степеней свободы f = m·n -1 f1 = n - 1 f2 = n·(m-1)

Проведение дисперсионного анализа состоит в сравнении оценок σА2и σ_ОСТ². Если гипотеза о том, что математические ожидания для каждой серии равны, верна, то σ_А² не должна существенно превышатьσ_ОСТ², что проверяется по критерию Фишера:

F = σ_А²/σ_ОСТ² (2.3)

Если F < Fкр, то различие между σ_А² и σ_ОСТ² можно считать несущественным, т.е. влияние фактора А сравнимо с влиянием случайных помех.

Если F > Fкр, то различие между σ_А² и σ_ОСТ² существенно, т.е. фактор А оказывает влияние на выходную величину.

Значение Fкр определяют по квантилям распределения Фишера, при уровне значимости α ("альфа") и степеням свободы f₁ и f₂:

Fкр = f( α , f1, f2)