6. Определение внутренних силовых факторов и реакций опор по линиям влияния

Чтобы определить значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в каком-либо сечении балки, необходимо построить соответствующую линию влияния реакции или внутреннего силового фактора для этого сечения.

Значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении по соответствующей линии влияния определяется по формуле: S = , где

S – искомая величина (опорная реакция, изгибающий момент или поперечная сила в заданном сечении);

F_i – внешняя сосредоточенная сила, положительна, если направлена вниз;

q_j – интенсивность распределенной нагрузки, положительна, если направлена вниз;

M_k – внешний сосредоточенный момент, положительный, если направлен по ходу часовой стрелки;

z_i – ордината линии влияния в сечении балки под соответствующей нагрузкой, берется со своим знаком;

ω_j – площадь участка линии влияния, расположенного в пределах распределенной нагрузки, знак которой определяется знаком соответствующей линии влияния;

tg α_k – тангенс угла наклона линии влияния под сосредоточенным моментом, положительный для восходящей ветви линии влияния.

Согласно приведенной формуле, при вычислении значения реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении необходимо просуммировать произведения всех действующих на балку сил, моментов и распределенных нагрузок, на соответствующие параметры линии влияния.

Задача 1

Для заданной схемы балки (рис.12) требуется:

1. Построить эпюры изгибающих моментов(M) и поперечных сил (Q).

2. Построить линии влияния поперечной силы (Q) и изгибающего момента(M) для сечений 1 и опоре D.

3. Определить по линиям влияния значения поперечной силы (Q), изгибающего момента(M) для заданного сечения и опорной реакции.

Решение

1. Построение поэтажной схемы и построение эпюр внутренних силовых факторов

Для заданной схеме балки (рис. 12а), основной или главной является балка АВC, т. к. имеет три кинематические связи. На балке АВC надстраивается подвесная балка CDE, на которой, в свою очередь, - подвесная балка EK (рис. 12б) .

Рис.12. Многопролетная балка и её поэтажная схема

Согласно поэтажной схеме многопролетной балки, построение эпюр выполняется с балки EK от заданной нагрузки (рис. 13).

Определение опорных реакций.

Проверка:

Для построения эпюры определяем значения изгибающих моментов на границах участков, рассматривая левую или правую часть балки с учетом правила знаков.

Участок EL:

;

Участок KL:

; 10, 4 ∙3– 4∙3∙1, 5=13, 2 кНм.

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке EL это наклонная прямая, а на участке KL – парабола, выпуклая вниз.

Рис.13.Эпюры балки EK

З начения поперечной силы определяем по формуле

где – балочная функция; – значения изгибающих моментов на левой и правой границах участка; l – длина участка;

q– интенсивность распределённой нагрузки.

Участок EL:

l = 2м; q = 0; =0; = 13,2 кНм.

Участок KL:

l = 3м; q =4кН/м; =13,2 кНм; = 0.

Q(0) =1,6 кН; Q(3) =1,6 –4·3 = –10,4 кН.

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.13). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль: 1,6 –4x =0; отсюда

x =1,6/4= 0,4 м –значение, измеряемое от левой границы участка KL.

Рис.14. Эпюры балки CDE

_{В ычисляем значение изгибающего момента в этой точке (расстояние от правой границы, очевидно, равно 3}–0,4=2,6 м), рассматривая правую часть балки:

Балка CDE, кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре Е балки EK и противоположно направленной (рис.14)

Определение опорных реакций.

 F_x =0 H_E= 0.

 M_C =0 m+R_D·3– R_E·5 =0; 6+R_D·3– 6, 6·5 =0; R_D·3– 27 =0; R_D = 9 кН.

 M_D=0 –R_C ·3+ m – R_E·2 =0;

–R_C ·3+ 6 – 6,6·2 =0; –R_C ·3– 7,2 =0;

R_C = –2,4 кН.

Проверка  F_z =0? R_C + R_D –R_E = 2,4 +9–6,6=9 –9 =0.

Значения изгибающих моментов.

Участок CD:

;

Участок DE:

;

Строим эпюру изгибающих моментов (рис.14).

Значения поперечной силы.

Участок CD:

l = 3м; q = 0; =0; = 7,2 кНм.

Участок DE:

l = 2м; q = 0; = 13,2 кНм; = 0.

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.14).

Балка ABC, кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре C балки CDE и противоположно направленной (рис.15).

Определение опорных реакций.

 F_x =0 H_A= 0.

 M_A =0 –q·3· 1, 5+R_B·3– R_C·4 =0;

–4·3· 1,5+R_B·3– (–2,4)·4 =0; R_B·3– 8,4 =0; R_B = 2,8 кН.

Рис.15. Эпюры балки ABC

 M_B=0 –R_A ·3+ q·3· 1, 5– R_C·1 =0;

–R_A ·3+4·3· 1, 5 – (–2,4)·1=0;

–R_A ·3+ 20, 4 =0; R_A = 6,8 кН.

Проверка  F_z =0? R_A –q·3+R_B –R_C =

= 6,8  4·3+2,8 – (–2,4)= 12–12=0.

Значения изгибающих моментов.

Участок AB:

;

Участок BC:

;

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке AB это парабола, выпуклая вниз, а на участке BC – наклонная прямая (рис.15).

Значения поперечной силы.

Участок AB:

l = 3м; q =4кН/м; =0; = 2,4 кНм.

Q(0) =6,8 кН; Q(3) =6,8 –4·3 = –5,2 кН.

Участок BC:

l = 1м; q = 0; = 2,4 кНм; = 0.

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.15). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка, определяем координату, при которой она обращается в нуль: 6,8 – 4x = 0; отсюда x =6,8/4= 1,7 м – значение, измеряемое от левой границы участка AB.

_{Вычисляем значение изгибающего момента в этой точке, рассматривая левую часть балки}:

Построенные эпюры для трех балок в отдельности объединяются в эпюры внутренних силовых факторов для всей многопролетной балки (рис.16в, г).