Задача 2. Определение перемещений в статически определимой балке

Для заданной схемы балки (рис.22) требуется:

1. Выполнить кинематический анализ системы.

2. Построить поэтажную схему.

3. Построить эпюры изгибающих моментов(M) и поперечных сил (Q).

4. Определить перемещение (прогиб) в сечении 1 и угол поворота в сечении 2 с помощью интеграла Мора с использованием правила Верещагина.

Рис.22. Схема балки

Исходные данные:

l=8 м; m=9 кНм; F=4 кН; q=2 кН/м.

Решение

1. Кинематический анализ

В заданной схеме балки (рис.22): к = 2 (число замкнутых контуров),

ш = 6 (число одиночных шарниров). Степень статической определимости (неопределимости) определяется по формуле S=3к-ш =3·2 – 6=0 и, следовательно, балка статически определимая.

2. Построение поэтажной схемы

Основной или главной является балка АВC, т. к. имеет три кинематические связи. На балке АВC надстраивается подвесная балка CD(рис. 23b) .

Рис. 23. Балка с промежуточным шарниром и её поэтажная схема

3. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Согласно поэтажной схеме многопролетной балки, построение эпюр выполняется с балки CD от заданной нагрузки (рис. 24).

Рис. 24. Эпюры балки CD

О пределение опорных реакций.

 F_x =0 H_C= 0.

 M_C =0 R_D·4+m =0; R_D·4+ 9 =0;

R_D = – 2, 25 кН.

 M_D=0 –R_C ·4+ F·4 + m =0; –R_C ·4+4·4+9 =0;

–R_C ·4+ 25=0; R_C = 6, 25 кН.

Проверка  F_z =0? R_C – F+ R_D = 6, 25 –4+(–2,25) =6,256,25 =0.

Д ля построения эпюры определяем значения изгибающих моментов на границе участка, рассматривая левую часть балки и известное правило знаков.

_{Участок} CD: ;

Строим эпюру изгибающих моментов – это наклонная прямая (рис.24)

Переходим к определению поперечной силы.

Участок CD: l = 4м; q = 0; =0; = 9 кНм.

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.24).

Балка ABC, кроме заданной нагрузки, нагружается силой, равной реакции в опоре C балки CD и противоположно направленной (рис.25).

Определение опорных реакций.

 F_x =0 H_A= 0.

 M_A =0 –q·4· 2+R_B·8– R_C·10 =0; –2·4· 2+R_B·8– 6,25·10 =0; R_B·8– 78,5 =0;

R_B = 9,8125 кН=9,81 кН.

Рис. 25. Эпюры балки ABC

 M_B=0 –R_A ·8+ q·4· 6– R_C·2 =0;

–R_A ·8+2·4· 6 – 6, 25·2=0; –R_A ·8+ 35, 5 =0;

R_A = 4, 4375 кН=4, 44 кН.

Проверка  F_z =0?

R_A –q·4+ R_B –R_C =

=4,442·4+9,81– 6,25=

=14,25–14,25=0.

Значения изгибающих моментов.

Участок AE: ;

Участок BC: ;

Участок BE: ;

Различные значения изгибающего момента, полученного в сечении E, объясняются ошибкой округления при определении опорных реакций R_A и R_B. Точное значение M_E = 1,75 кНм.

Строим эпюру изгибающих моментов, на участке AE это парабола, выпуклая вниз, а на участках BC и BE – наклонные прямые (рис.25).

Значения поперечной силы.

Участок AB: l = 4м; q =2кН/м; =0; = 1,75 кНм.

Q(0) =4,44 кН; Q(4) =4,44 –2·4 = –3,56 кН.

Участок BC: l = 2м; q = 0; = –12,5 кНм; = 0.

Участок BE: l = 4м; q = 0; = 1,75 кНм; = –12,5 кНм.

Используя полученные значения, строим эпюру поперечной силы (рис.25). Поскольку поперечная сила меняет знак в пределах участка AE, определяем координату, при которой она обращается в нуль: 4,44 –2x =0; отсюда x =4,44/2= 2,22 м – значение, измеряемое от левой границы участка AE.

_{Вычисляем значение изгибающего момента в этой точке, рассматривая левую часть балки}:

Построенные эпюры для трех балок в отдельности объединяются в эпюры внутренних силовых факторов для всей многопролетной балки (рис.26).