5.2. Порядковые средние.

Особое место в математической статистике занимают порядковые или структурные средние, т.е. характеристики, зависящие от порядка следования вариант в вариационном ряде. Самыми известными из порядковых средних являются мода и медиана.

Выборочной модой (или просто модой) называется одна из основных статистик распределения, которая характеризует наиболее часто встречающееся значение признака.

Для дискретного ряда мода равна варианту с наибольшей частотой. Например, для дискретного вариационного ряда из примера 5.1 мода = 6, так как у этого варианта наибольшая частота.

Для нахождения моды в случае интервального ряда вначале находят модальный интервал [a_p – a_p+1], т.е. интервал с наибольшей частотой. Мода находится внутри модального интервала по формуле:

, (5.6)

где a_p – левая граница модального интервала;

n_p – частота модального интервала;

n_p-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

n_p+1 – частота интервала, последующего за модальным;

h – длина интервала.

В формуле (5.6) все частоты можно заменить на частости, соответствующие интервалов, от этого значение моды не измениться.

Мода может быть найдена графическим путем по гистограмме. Рассмотрим гистограмму распределения частот интервального ряда. Выделим на этой гистограмме прямоугольник с наибольшей высотой. Соединим прямыми линиями две вершины этого прямоугольника с вершинами соседних прямоугольников, как показано на следующем рисунке

Абсцисса точки пересечения построенных прямых равна моде рассматриваемого вариационного ряда. Формула (5.6) получена из данного графического представления. Если с помощью методов аналитической геометрии найти уравнения двух прямых, построенных по двум точкам, то точка их пересечения имеет первую координату, равную моде.

Иногда упрощают нахождение моды, предполагая, что она приближенно равна середине модального интервала.

Пример 5.2. Для интервального ряда из примера 10 аналитически и графически найти моду и сравнить ее с серединой модального интервала.

Решение. Для интервального ряда

Интервалы	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
Частоты интервалов	3	6	7	3	1

модальным интервалом будет интервал [5 − 7], как интервал с наибольшей частотой.

Выпишем данные, необходимые для нахождения моды:

a_p = 5; n_p = 7; n_p-1 = 6; n_p+1 = 3; h = 7 – 5 = 2.

Подставляем данные в формулу (5.6), получаем

.

Середина модального интервала равна z = 6, как видим, это достаточно грубое приближение для моды.

Можно построить гистограмму и найти моду графически.

Мода – это единственная из основных статистик, которая может иметь несколько значений для одного вариационного ряда. Если в вариационном ряде наибольшая частота будет соответствовать нескольким вариантам (интервалам), то такой ряд будет иметь несколько значений моды.

При наличии одной моды распределение называют унимодальным, при двух модах – бимодальным, при трех и более модах – мультимодальным.

Отличие моды от средней выборочной заключается в том, она обладает определенной устойчивостью к изменению признака. Мода не изменяет своего значения при изменении крайних элементов ряда.

Еще одной важной порядковой средней является медиана.

Выборочной медианой (или просто медианой) называется одна из основных статистик распределения, которая характеризует середину вариационного (ранжированного) ряда.

Медиана – это значение, для которого 50% выборочных данных меньше этого значения, а 50% больше его, т.е. медиана делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариантов.

Для дискретного вариационного ряда медиана равна серединному значению варианта, если объем совокупности является нечетным числом, или полусумме двух серединных вариантов, если объем совокупности является четным числом.

Пример 5.3. Найти медиану для дискретного вариационного ряда из примера 5.1:

Варианты хi	3	4	6	9
Частоты ni	1	3	5	1

Решение. Объем статистической совокупности равен n = 10 (четное число). Следовательно, медиана равна полусумме двух серединных вариантов х₅ = 6 и х₆ = 6, т.е. . ■

Пример 5.4. Найти медиану для дискретного вариационного ряда

Варианты хi	1	3	7
Частоты ni	1	3	5

Решение. Объем выборочной совокупности равен n = 9 (нечетное число). Следовательно, медиана равна серединному варианту х₅, т.е. . ■

При нахождении медианы интервального ряда, вначале находят медианный интервал, т.е. интервал, содержащий медиану.

Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, которая превышает половину объема выборочной совокупности. Внутри найденного интервала медиана рассчитывается по формуле:

, (5.7)

где a_p – левая граница медианного интервала;

n_p – частота медианного интервала;

n_p-1^нак – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

h – длина интервала.

Медиана, как и мода, может быть найдена графическим путем. Для этого используют кумулятивную кривую. Рассмотрим кумуляту распределения частот интервального ряда. Выделим на этой кумуляте отрезок, соответствующий медианному интервалу. Найдем на этом отрезке точку, ордината которой будет равна середине соответствующего интервала на оси ординат, как показано на следующем рисунке:

Тогда абсцисса найденной точки будет равна медиане рассматриваемого ряда.

Формула (5.7) получена из данного графического представления. Для ее вывода используются пропорциональность сторон в подобных треугольниках.

Иногда упрощают нахождение медианы, предполагая, что она приближенно равна середине медианного интервала.

Пример 5.5. Для интервального ряда из примера 5.2 аналитически и графически найти медиану и сравнить ее с серединой медианного интервала.

Решение. Дополним данный интервальный ряд строкой с накопленными частотами:

Интервалы	1 − 3	3 − 5	5 − 7	7 − 9	9 − 11
Частоты интервалов	3	6	7	3	1
niнак	3	9	16	19	20

Половина объема совокупности равна 10, следовательно, медианным интервалом будет интервал [5 − 7], как первый интервал, для которого накопленная частота 16 превышает половину объема выборочной совокупности. Выпишем данные, необходимые для нахождения моды:

a_p = 5; n_p = 7; n_p-1^нак = 9; h = 7 – 5 = 2.

Подставляем данные в формулу (5.7), получаем

.

Середина медианного интервала равна z = 6, как видим, это достаточно грубое приближение для медианы. ■

Можно построить кумуляту и найти медиану графически.

Медиана, также как и мода, обладает определенным свойством устойчивости. На нее не влияет изменение крайних элементов вариационного ряда, если любой элемент, меньший медианы, остается также меньше ее, а любой больший медианы, будет также больше ее.

Одно из главных свойств медианы состоит в том, что сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины, в том числе и от средней выборочной.

Средние величины являются очень важными числовыми характеристиками вариационных рядов, однако, они не показывают изменчивость (вариацию) значений ряда. Перейдем к рассмотрению показателей вариации рядов.