Найдя дисперсии всех групп, можно найти среднюю арифметическую этих дисперсий с учетом объемов групп. В этом случае получаем внутригрупповую дисперсию.

Внутригрупповой дисперсией называется среднее арифметическое групповых дисперсий с учетом объемов групп, т.е.

Рассмотрим теперь групповые средние и общую среднюю всего вариационного ряда . Определим средний квадрат разброса групповых средних вокруг общей средней.

Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней, т.е.

.

Правило сложения дисперсий: Если статистическая совокупность состоит из нескольких групп, то дисперсия всей совокупности равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий, т.е. = + .

Рассмотренное правило имеет и теоретическое и практическое значение. На практике оно чаще всего применяется в тех случаях, когда статистические данные получаются не отдельными значениями, а некоторыми группами. Тогда для нахождения общей дисперсии можно не объединять все группы в одну совокупность. Иногда, правда, возникает и другая задача.

Если рассматриваемая совокупность достаточно большая по объему, то ее целесообразно разбить на группы, что значительно облегчает расчеты.

Как уже было отмечено, размерность дисперсии равна квадрату размерности вариантов, а размерность среднеквадратического отклонения равна размерности вариантов.

Таким образом, величина и той и другой мер разброса зависит от размерности рассматриваемого признака. Если необходимо избавиться от этой зависимости, то используют безразмерную величину, называемую коэффициентом вариации.

Выборочным коэффициентом вариации называется безразмерная характеристика вариации, равная процентному отношению среднеквадратического отклонения к средней выборочной (не равной нулю), т.е.

.

Коэффициент вариации часто применяется для сравнения разброса значений двух вариационных рядов.

Разброс значений вокруг средней выборочной будет у того ряда больше, у которого коэффициент вариации будет иметь большее значение. При этом, так как этот коэффициент не имеет размерности, то можно сравнивать вариационные ряды, для которых варианты имеют различную размерность.

Нахождение числовых характеристик вариационных рядов может привести к очень громоздким расчетам, если сами варианты имею достаточно большие значения. Существует метод, позволяющий эти расчеты значительно упростить.

5.4. Упрощенный метод расчета характеристик вариационного ряда

Для упрощения расчетов применяют понятие условных вариантов.

Пусть дан дискретный вариационный ряд.

Условными вариантами u_i называются варианты определяемые равенством

, i=1,2,…,m, (5.14)

где x_i – варианты исходного вариационного ряда, а с и t – некоторые постоянные.

Постоянную с иногда называют ложным нулем.

Для условных вариантов можно найти выборочную среднюю и дисперсию по обычным правилам. Выведем формулы, связывающие эти параметры с аналогичными параметрами исходного вариационного ряда.

По свойствам средней арифметической и дисперсии имеем

Отсюда

(5.15).

Если задан не дискретный, а интервальный ряд, то, очевидно, что условные варианты будут определяться также по формуле (5.14), как обычно, с заменой вариантов серединами соответствующих интервалов.

Упрощенный метод нахождения средней выборочной и дисперсии основан на замене первоначальных вариантов условными по формуле (5.14). Затем для условных вариантов находят среднюю выборочную и дисперсию и по формуле (5.15) определяют среднюю выборочную и дисперсию первоначального ряда.

Для того чтобы рассмотренный метод давал действительно упрощенные расчеты, необходимо правильно подбирать постоянные величины при формировании условных вариантов.

В качестве постоянной с можно взять любой вариант (или середину любого интервала), но наибольшая простота вычислений достигается, если в качестве с выбрать вариант, расположенный в середине вариационного ряда (или середину серединного интервала).

Постоянная t для интервального ряда обычно принимается равно длине интервала h. В этом случае можно показать, что условные варианты будут целыми числами, если в качестве с взять середину любого интервала. Доказательство учитывает тот факт, что середины интервалов являются равноотстоящими величинами.

Для дискретного ряда в качестве t можно, например, выбрать разность между какими-либо соседними вариантами. Иногда t полагают равным 1. Как правило, это происходит тогда когда разности между вариантами и ложным нулем небольшие числа.

Рассмотренными числовыми характеристиками не исчерпываются все числовые характеристики вариационных рядов. Кроме того, средняя выборочная и дисперсия являются на самом деле частными случаями более общих понятий - моментов вариационного ряда.