6. Упорядоченность множества натуральных чисел

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Т е о р е м а 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а> b, а< b.

Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы мы опускаем. Из этой теоремы вытекает, что если а ≠ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Т е о р е м а 13. Если а < b и b < с, то а < с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».

Так как а < b и b < с, то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа k и l, что b =а + k и с = b + 1. Но тогда с = (а + k) + I и на основании свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + I). Поскольку к + I - натуральное число, то согласно определению «меньше», а < с.

Т е о р е м а 14. Если а < b, то неверно, что b < а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не выполняется отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b, то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b, то b < а выполняется. Но из этих двух неравенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел - линейно упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Т е о р е м а 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. 1 < а для любого натурального числа а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а= 1 и а ≠ 1. Если а ≠ 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b' = b + 1 = 1 + b, т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное число равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Т е о р е м а 16.

l) a = b=>a + c = b + c и ас=bс;

2) a<b=>a + c<b + c и ас < be;

3 )а>b==>а + с>b + с и ас>bс.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

2) Если а <b, то существует такое натуральное число k, что а + k= b. Тогда b + с = (а + k)+с=а + (k + с) =а + (с + k) = (а + с) + k. Равенство b + с = (а + с)+ k означает, что а + с <b + с. Точно так же доказывается, что а<b=>ас <bс.

3) Доказывается аналогично. Теорема 17 (обратная теореме 16).

l) a + c = b + c или ас = be => а = b;

2) а + с<b + с или ас<bс => а < b;

3) а + с>b + с или ас> be => а > b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b. Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b, так как тогда бы выполнялось равенство ас = be (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > be (теорема 16). Поэтому, согласно теореме 12, а<b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Т е о р е м а 18. Для любых натуральных чисел а и Ъ существует такое натуральное число п, что nb> а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число n, что n > а. Для этого достаточно взять n = а + 1. Перемножая почленно неравенства n > а и b > 1, получаем nb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < n < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М-множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7, так как 9 - это 7 + 2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».