9. Множество целых неотрицательных чисел

Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается Z_o, таким образом Z_o = N {0}.

Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого натурального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяется равенствами:

( а N) а + 0 = 0+а = a; ( а N) а -0 = a;

( а N) а · 0 = 0; ( а N) 0:a = 0.

Кроме того, будем считать, что:

0+0=0; 0· 0=0; 0-0 = 0; a-a=0.

Вычитание и деление для целых неотрицательных чисел определяются так же, как и для натуральных.

Т е о р е м а 28. Деление на нуль невозможно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а ≠ 0. Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, найдется такое целое неотрицательное число с, что а = с· 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а≠ 0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное а = 0 и b - 0 существуют, и тогда найдется такое целое неотрицательное число с, что выполняется равенство 0 = с· 0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b=0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

Рассматривая деление на множестве целых неотрицательных чисел, мы имеем в виду деление нацело, т.е. такое, при котором частное является также целым неотрицательным числом. Но такое частное существует не всегда. Например, нельзя разделить на 9 число 31. Но существуют числа 3 и 4 такие, что 31 =9· 3 + 4. Говорят, что мы разделили число 31 на 9 с остатком 4, а число 3 называют неполным частным. В общем случае деление с остатком определяют так.

Определение. Пусть а - целое неотрицательное число, а b -число натуральное. Разделить а на b с остатком - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a-bq + r, причем 0≤r≤b.

Из этого определения следует, что делить с остатком можно не только большее число на меньшее, но и меньшее на большее. Например, при делении числа 5 на 9 получаем, что неполное частное равно 0, а остаток - 5: 5 = 0· 9 + 5. Вообще если а <b, то при делении а на b с остатком получаем q = 0 и r = а.

Если при делении а на b с остатком оказывается, что r =0, то говорят, что имеем деление нацело. Вообще r =0 тогда и только тогда, когда а делится на b.

В связи с этим новым действием возникают вопросы: если заданы числа а и b, всегда ли можно найти такие q и r, что будет выполняться равенство а = bq + r и 0 ≤ г <b? Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b? Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Т е о р е м а 29. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что a = bq + r, причем 0 < r < b. И эта пара чисел q и r единственная для заданных а и b.

Д о к а з а т е л ь с т в о существования. Обозначим через М множество целых неотрицательных чисел, кратных b и не превосходящих а:

М = {х|х = b у, х<а}.

Так как для всех чисел из этого множества выполняется неравенство х < а + 1, то в множестве М есть наибольшее число, которое обозначим через х₀. Это число имеет вид х_о = bq, причем число b (q + 1) уже не принадлежит множеству М и поэтому b(q + 1) > а. Итак, найдено число q, такое, что bq<a < bq + b. Из этих неравенств следует, что 0 ≤ а - bq < b. Если обозначить a-bq через r, то имеем a-bq=r, т.е. a=bq + r и 0≤ r < b. Это означает, что q - неполное частное, а r - остаток при делении а на b.

Д о к а з а т е л ь с т в о единственности. Предположим, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b и a= bq₁ + r, где 0 ≤ r₁ < b, причем, например, r > r₁. Тогда имеем bq + r = bq₁ + r_1, и поэтому r - r₁ = bq₁- bq = b(q₁ - q). Поскольку 0 ≤r₁ < r < b, то r – r₁ < b. С другой стороны, r –r₁= b(q₁ - q) и потому делится на b. Пришли к противоречию, так как натуральное число, меньшее, чем b, не может делиться на b. Это противоречие и доказывает, что другой пары чисел с требуемыми свойствами не существует, следовательно, деление с остатком однозначно определено.

В любом начальном курсе математики изучается деление с остатком, так как оно лежит в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное. При этом часто используется запись: 9:2 = 4 (ост. 1). Учащиеся запоминают, что если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя.