7. Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел аи Ъ называется операция, удовлетворяющая условию: а- b -с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а - b называется разностью чисел а и b, число а -уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

Т е о р е м а 19. Разность натуральных чисел а- b существует тогда и только тогда, когда b < а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а это значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с -а. Тогда, по определению разности, с-а- b, т.е. разность а- b существует.

Т е о р е м а 20. Если разность натуральных чисел а и Ъ существует, то она единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: а - b = с₁, и а - b = с₂, причем с₁ ≠ с₂. Тогда, по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂. Отсюда следует, что b + с₁ = b + с₂, и на основании теоремы 17 заключаем, что с₁ = с₂. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Т е о р е м а 21. Пусть a, Ъ и с - натуральные числа.

а) Если а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b.

б) Если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с).

в) Если а > с и b > с, то можно использовать любую из данных формул.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае а) разность чисел а и с существует, так как а > с. Обозначим ее через х : а - с = х, откуда а = с + х. Если (а + b) - с = у, то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим: х + b = у. Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - с) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b.

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Т е о р е м а 22. Пусть a, b и с- натуральные числа. Если а > b + с, то а – (b + с) = (а - b) - с или а – (b + с) = (а - с) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила: для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 - это значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит, 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16)- 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом:

а) (40 + 16) - 10 = (40-10) + 16 = 30 + 16 = 46;

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16 - 10) = 40 + 6 = 46.