§7. Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне

В настоящем параграфе метод Фурье применим к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (2.31) теплопроводности в тонком стержне.

7.1. Случай однородного уравнения. Рассмотрим задачу: найти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

, (7.1)

граничным условиям

(7.2)

и начальному условию

(7.3)

где - заданная функция, имеющая непрерывную производную и

Ищем решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям (7.2), в виде

(7.4)

Подставляя (7.4) в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем

или

(7.5)

(7.6)

Кроме того, из граничных условий (7.2) следует, что

(7.7)

Итак, для определения функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (7.6), (7.7). Эта задача изучена нами в пункте 6.1 §6. Ее решение имеет вид:

(7.8)

Подставляя значения из (7.8) в уравнение (7.5), получаем

которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение дается формулой

(7.9)

где произвольные постоянные.

Теперь, если (7.8), (7.9) подставить в (7.4), то получим частные решения уравнения (7.1), удовлетворяющие граничным условиям (7.2), следующего вида

Чтобы удовлетворить начальному условию (7.3), составим ряд из этих частных решений:

(7.10)

Подставляя (7.10) в условие (7.3), будем иметь:

(7.11)

(7.11) есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §6, приходим к тому, что соотношение (7.11) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (7.11) определены по формулам

(7.12)

Подставляя (7.12) в (7.10), получаем решение задачи (7.1)- (7.3).

По поводу обоснования полученного решения в виде (7.10) необходимо сказать то же самое, что и в §6: ряд (7.10) и ряды, получаемые формальным почленным дифференцированием этого ряда дважды по , один раз по , сходятся равномерно в области . Можно показать, что при условиях, наложенных выше на функцию , эти условия выполняются.

7.2. Случай неоднородного уравнения. Требуется найти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

, (7.13)

граничным условиям

(7.14)

и начальному условию

(7.15)

где - заданная функция, имеющая непрерывную производную и

Решение задачи (7.13)- (7.15) будем искать в виде

(7.16)

где есть решение задачи

(7.17)

(7.18)

(7.19)

а есть решение задачи

(7.20)

(7.21)

(7.22)

Задача (7.17)- (7.19) для функции рассмотрена нами в пункте 7.1; ее решение дается рядом (7.10). Решение задачи (7.20)- (7.22) будем искать в виде

(7.23)

где неизвестные функции.

Пусть ряд (7.23) равномерно сходится в области и допускает почленное дифференцирование дважды по и один раз по . Тогда, подставляя (7.23) в (7.20), получаем

откуда

(7.24)

где

(7.25)

С учетом (7.23) из условий (7.22) получим

(7.26)

Следовательно, для определения функций имеем задачу (7.24), (7.26), представляющую задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка (7.24) с начальным условием (7.26). Ее решение дается формулой

(7.27)

Подставляя в (7.27) вместо выражение (7.25), а затем полученный результат в (7.23), получаем решение задачи (7.20)- (7.22). Решение исходной задачи (7.13)- (7.15) найдем по формуле (7.16).

Решение задачи для уравнения теплопроводности (7.13) в случае неоднородных граничных условий совершенно аналогично соответствующему случаю для уравнения колебаний струны (см. пункт 6.3).

В заключение параграфа отметим, что для уравнения теплопроводности может быть поставлена задача Коши: найти функцию , непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

и начальному условию

где непрерывная и ограниченная функция.

Решение этой задачи Коши дается формулой Пуассона

где

Функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

Пример 7.1. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности:

Решение. Решение этой задачи дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае

Внося эти данные в (7.12), получаем

Вычислим интегралы:

если

при

Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение задачи в следующем виде

Второй способ нахождения коэффициентов Функцию заданную соотношением (7.10), подставим в начальное условие:

Правая часть этого равенства представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых , будем иметь: остальные равны нулю.

Пример 7.2. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

Решение. В соответствии с изложенным в разделе 7.2 §7 решение этой задачи ищется в виде

(7.28)

где есть решение задачи

а есть решение задачи

Сначала решаем задачу относительно функции решение которой дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае Внося эти данные в (7.12), получаем

Вычислим эти интегралы с помощью двукратного интегрирования по частям:

Отсюда видно, что коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение первой задачи относительно в следующем виде

(7.29)

Перейдем к решению задачи относительно функции Ее ищем в виде (7.23), где и функции определяются формулой (7.27), которая в нашем случае примет вид:

, (7.30)

где для в силу (7.25) с учетом получаем интеграл

который вычисляется по частям:

Внося это выражение в (7.30), для получаем

Теперь, если это значение подставить в (7.23), то получим решение второй задачи , которое вместе с (7.29) по формуле (7.28) дает решение исходной задачи.

Задачи

Методом Фурье найти решения следующих начально-краевых задач для уравнения теплопроводности:

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.