§8. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа

Решение краевых задач для уравнения Лапласа в случае некоторых простейших областей (круг, сектор, кольцо, прямоугольник, шар, цилиндр) может быть найдено также методом Фурье. Получающиеся при этом задачи Штурма- Лиувилля на собственные значения приводят к различным классам специальных функций. В этом параграфе мы рассмотрим задачу Дирихле для кругового сектора и круга, при решении которых, как и в предыдущих параграфах, используются только тригонометрические функции.

При решении задач в круговом секторе или в круге удобно перейти к полярным координатам

Выражая производные через производные по переменным с

помощью формул (3.4), уравнение Лапласа в полярных коор-

динатах можно записать в виде

(8.1)

8.1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круговом секторе. Найти функцию , непрерывную в замкнутом круговом секторе удовлетворяющую внутри кругового сектора уравнению Лапласа (8.1) и граничным условиям:

(8.2)

(8.3)

где заданная функция, удовлетворяющая условию

.

Согласно методу Фурье решение уравнения (8.1) при условиях (8.3) будем искать в виде

(8.4)

Подставляя (8.4) в уравнение (8.1), получаем

,

откуда для определения неизвестных функций будем иметь уравнения:

(8.5)

(8.6)

Из граничных условий (8.3) следует, что

(8.7)

Итак, для определения функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.7). Эта задача изучена нами в §§6,7. Ее решение имеет вид:

(8.8)

Подставляя значения из (8.8) в уравнение (8.5), получаем

(8.9)

которое представляет собой однородное дифференциальное уравнение Эйлера второго порядка. Его решения можно искать в виде

, (8.10)

где - некоторая постоянная.

Подставляя (8.10) в уравнение (8.9) и сокращая на , для определения постоянной приходим к уравнению

,

корнями которого являются Следовательно, общее решение уравнения Эйлера (8.9) имеет вид

(8.11)

где произвольные постоянные.

Так как решение должно быть непрерывным в замкнутом круговом секторе, то Тогда из (8.11) получим

(8.12)

Теперь, если (8.8), (8.12) подставить в (8.4), то получим частные решения уравнения (8.1), удовлетворяющие граничным условиям (8.3), следующего вида

Чтобы удовлетворить условию (8.2), составим ряд из этих частных решений:

(8.13)

Подставляя (8.13) в условие (8.2), будем иметь:

(8.14)

(8.14) есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §§6,7, приходим к тому, что соотношение (8.14) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (8.14) определены по формулам

откуда

(8.15)

Подставляя (8.15) в (8.13), получаем решение задачи Дирихле (8.1)- (8.3).

8.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Найти функцию , непрерывную в замкнутом круге удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа (8.1) и граничному условию

(8.16)

где заданная непрерывная функция.

Прежде всего, заметим, что в случае круга искомая функция должна быть периодической с периодом :

(8.17)

Поэтому функция дополнительно должна удовлетворять условию

Ищем решение уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющее условию (8.17), снова в виде (8.4). Для определения функций , как и в предыдущем пункте 8.1, получаем уравнения (8.5), (8.6). Условие (8.17) дает

(8.18)

Итак, для функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18). Решаем ее. Рассмотрим три случая.

1) Общее решение уравнения (8.6) имеет вид:

где произвольные постоянные. Ясно, что ни при каких постоянных не равных одновременно нулю, не является периодической, т.е. не выполняется условие (8.18), а значит, задача Штурма- Лиувилля в этом случае не имеет решения.

2) Общее решение уравнения (8.6)

Из условия (8.18) следует, что , следовательно, задача Штурма- Лиувилля имеет решение вида

3) Общее решение уравнения (8.6) есть

Это решение будет удовлетворять условию периодичности (8.18) лишь при

Таким образом, решения задачи Штурма- Лиувилля (8.6), (8.18) имеют вид:

(8.19)

(отрицательные значения не дают новых решений), где произвольные постоянные.

Теперь значения подставим в уравнение (8.5) и, рассуждая как в пункте 8.1, находим его решения в виде

(8.20)

Внося выражения из (8.19), (8.20) в (8.4), получаем частные решения уравнения Лапласа (8.1), удовлетворяющие условию периодичности (8.17), в виде

(8.21)

Чтобы удовлетворить граничному условию (8.16), из частных решений (8.21) образуем ряд

(8.22)

Подставляя (8.22) в граничное условие (8.16), получаем

(8.23)

Ряд слева в (8.23) есть полный тригонометрический ряд Фурье для отрезка Поэтому мы удовлетворим условию (8.23), если положим равными коэффициентам Фурье функции

(8.24)

Подставляя значения коэффициентов из (8.24) в (8.22), получаем решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Отметим, что построенные решения задачи Дирихле в круговом секторе (8.13) и в круге (8.22) являются формальными. Для их обоснования необходимо провести те же рассуждения, что и в случае уравнения колебаний струны (§6).

В заключение отметим, что решение задачи Дирихле в круге (8.22) можно представить в виде

Эта формула называется формулой Пуассона, а интеграл справа – интегралом Пуассона.

Пример 8.1. Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круговом секторе , :

Решение. Решение этой задачи дается формулой (8.13), в которой коэффициенты определены соотношениями (8.15). В нашем случае

Подставляя эти значения в (8.15), для определения коэффициентов получаем Вычислим интегралы:

если

при

Таким образом, все коэффициенты с четными номерами равны нулю.

Теперь, подставив найденные значения коэффициентов в формулу (8.13), получим решение исходной задачи в следующем виде

Пример 8.2. Решить методом Фурье краевую задачу для уравнения Лапласа в круге , :

Решение. Решение этой задачи дается формулой (8.22), в которой коэффициенты определены при помощи соотношений (8.24). Сначала коэффициенты найдем с помощью (8.24). Так как в нашем случае то из формул (8.24) будем иметь:

если

при

если

при

Внося найденные значения коэффициентов в формулу (8.22), получаем решение исходной задачи в виде

Второй способ нахождения коэффициентов Функцию (8.22) подставим в граничное условие:

Сравнивая коэффициенты при и , для определения получаем

откуда остальные и все равны нулю.

Задачи

Методом Фурье найти решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.