1.10 Основні методи вимірювання частоти

Вимірювання – це багатоопераційна процедура. Довільний процес вимірювання можна представити певним набором таких вимірювальних операцій:

– відтворення фізичної величини заданого розміру;

– вимірювальне перетворення;

– порівняльне перетворення;

– масштабне перетворення;

Сукупність цих вимірювальних операцій є функціонально повною, тобто достатньою для реалізації будь-якого вимірювання без застосування інших операцій та процедур. Наведені операції виконують певні пристрої.

Частота – це той параметр сигналу, який на ряді з довжиною часового інтервалу може оброблятися безпосередньо цифровим пристроєм. Так наприклад, частота вимірюється цифровим частотоміром , де аналоговим є тільки блок узгодження. Призначення цього блоку полягає в формуванні імпульсного числа, який має частоту, рівну частоті вхідного сигналу. Таким чином вдається абстрагуватися від природи частотного сигналу і представити його в нормалізованому вигляді. Внаслідок такої унікальної властивості частотних сигналів є можливим застосування цифрової обробки сигналів для підвищення точності та завадостійкості методів вимірювання частоти (1.10).

Вихідним сигналом узгоджуючого блоку частотоміра як правило є послідовність логічних імпульсів, відмічаючи на часовій осі початок кожного наступного періоду вхідного сигналу. Якщо забезпечити протяжність цих імпульсів, багато меншу тривалість періоду їх поступання, то частотний сигнал може бути представлений як послідовність δ-імпульсів

(1.10)

Де - період δ-імпульсів.

Як відомо, спектр безкінечної послідовності δ-імпульсів в часовій області являє собою таку ж послідовність δ-імпульсів в частотній області, наступних з періодом, рівним :

Основуючись на даному рівнянні послідовності можна зробити висновок.

В дійсності сигнал який поступає на вхід частотоміра, не є вільним від завад. В простішому випадку завада може бути представлена синусоїдальним сигналом з амплітудою і частотою . Саме з таким сигналом частіше всього приходиться мати справу, коли джерелом завади є електрична мережа. В цьому випадку вхідний імпульсний сигнал можна записати в наступному вигляді (1.11):

(1.11)

В пристроях і системах управління найбільш розповсюдження отримали способи вимірювання частоти імпульсних сигналів, базуючись на двох основних методах і спираючись на різні визначення поняття «частота сигналу». Одним із методів вимірювання частоти виконується шляхом підрахунку числа імпульсів вхідного сигналу, які поступили на вхід лічильника в тривалості фіксованого інтервалу часу , і є прямим методом вимірювання частоти. Даний метод вимірювання основується на визначенні частоти як середнього значення імпульсного сигналу з імпульсами рівній площі. Альтернативним методом вимірювання частоти по відношенню до попереднього є метод непрямого вимірювання частоти – по періоду сигналу. В цьому випадку частота визначається як величина, обернено пропорційна періоду імпульсного сигналу.

Внаслідок різного визначення частоти результати вимірювання при прямому і непрямому вимірюваннях будуть співпадати тільки тоді, коли імпульси вхідного сигналу розставлені рівномірно. Присутність в вхідному сигналі завад або високочастотних гармонік основної частоти приводить до додаткової похибки вимірювання основної частоти. Ця похибка найбільш сильно проявляється при вимірюванні частоти по періоду, так як в цьому випадку фільтрація високих частот не проводиться.

Очевидно, що при вимірюванні частоти по періоду результат вимірювання може бути отриманий з необхідною точністю за час, рівний тривалості одного періоду сигналу, тоді коли для досягнення такого ж розширення m при прямому вимірюванні частоти необхідно вже періодів вхідного сигналу. Отже, час вимірювання мінімального при непрямому методі вимірювання частоти імпульсного сигналу, але необхідно звернути увагу, що високе розширення може бути досягнуто тільки в вимірювальних системах, які мають високу швидкодію, що звичайно не сумісно з потребами низького енергоспоживання. Крім того, недоліком непрямого вимірювання частоти є необхідність виконання операцій ділення, що важко в системах, не маючих достатніх розрахункових можливостей.

Скорочення часу прямого вимірювання частоти при заданій похибці вимірювання і/ або зниження похибки при заданому часу вимірювання може бути досягнуто за рахунок застосування вагових функцій (ВФ). Досліди в цьому направленні були ініційовані проф. В.Д. Міхотіним.

Результат прямого вимірювання частоти може бути знайдений по формулі (1.12):

(1.12)

Підставляючи (3) в (5), отримуємо

Як видно із отриманого співвідношення, результат вимірювання має потрібну інформацію і похибку, викликану наявністю в вхідному сигналі гармонік з частотами kf. Ця похибка виникає в наслідок округлення виразу до найближчого цілого числа і називається похибкою квантування.

Вимірювання частоти сигналу по формулі (1) за заданий час Т можливо розглядати як визначення середнього значення послідовності імпульсів з використанням прямокутної (ВФ) (вікна Діріхле) тривалістю Т. з іншої сторони, даний процес можна представити як виділення постійної складової сигналу за допомогою цифрового фільтру нижніх частот (ФНЧ) з конечною імпульсною характеристикою (КІХ). Тоді точність вимірювання буде визначатися якістю фільтрації високочастотних компонент вхідного сигналу. Основуючись на даному підході, відносну середню квадратичну похибку вимірювання частоти можна визначити як:

Де – ВФ; =1/f; N рівно округленому до найближчого більшого або меншого цілого числа відношенню .

Нижче наведені результати численного моделювання роботи частотоміра, реалізуючого метод прямого вимірювання частоти з ВФ. В таблиці наведені апроксимуючі вирази для середньоквадратичної і максимально відносних похибок вимірювань частоти з деякими усереднюючими вікнами див Табл. 1.1.

Таблиця 1.1 – похибки віконної обробки

Вид вікна	Відносна похибка
	середньоквадратична	максимальна
Вікно Діріхле	0,499	1,0
Вікно Бартлетта	0,573	1,0
Вікно Парзена	3,698	5,333
Вікно Блекмана	0,191	0,265
Вікно Ханна	0,457	0,635
Вікно Хеммінга	0,072	0,14

Як можемо бачити, швидкість зниження відносної похибки вимірювання з ростом частоти має той самий порядок, що і швидкість спаду амплітуди бокових пелюсток для відповідного усереднюючого вікна. Це узгоджується з даними вище визначенням відносної середньої квадратичної похибки, таким чином, застосування ВФ дозволяє знизити похибку квантування при заданому часі вимірювання і/ або скоротити час вимірювання при заданій похибці вимірювання.

Особливістю методу прямого вимірювання частоти з ВФ є те, що в процесі вимірювання одночасно проводиться подавлення завад. Дійсно, якщо в вхідному частотному сигналі присутня завада, гармоніки якої мають частоти f (4), коефіцієнт подавлення завади в децибелах для даної ВФ по відношенню до прямокутної ВФ записати наступним чином (1.13):

(1.13)

Де і – АЧХ відповідно даної і прямокутної ВФ.

Зауважу, що прямокутна ВФ (вікно Діріхле) має більше подавлення завади тільки на низьких частотах внаслідок більш вузької основної пелюстки частотної характеристики. На високих частотах найбільший виграш по порівнянню з прямокутною ВФ дають ВФ, які мають велику швидкість спаду бокових пелюсток частотної характеристики.

При вимірюванні частоти по періоду сигналу в різниці від прямого вимірювання частоти фільтрація завад не проводиться. Так, якщо в сигналі присутня гармонічна завада (4), то результат вимірювання частоти ( послідовність відліків) буде змінюватися по синусоїдальному закону з частотою f. Звичайним способом зменшення завади в цьому випадку є застосування цифрової фільтрації. Однак особливість частотних сигналів полягає в тому , що частота поступання результатів вимірювання ( частота дискретизації) не є постійною а рівна частоті вхідного сигналу. Внаслідок цього часова тривалість цифрового фільтру буде змінюватися, а значить , будуть змінюватися і його частотні властивості. З урахуванням сказаного передавальна функція дискретного фільтра в загальному вигляді буде виражатися наступним чином (1.14):

(1.14)

Де .

Явище зміни частотних властивостей цифрового фільтру можна навести на конкретному прикладі:

а) б)

в) г)

Рисунок 1.8 – Відображення сигналу при дослідження частоти обертів двигуна

а) нормальна робота двигуна

б) сигнал при фільтрації фільтром Батерворта 29-го порядку

в) сигнал при відсутності запалення в одному циліндрі

г) збільшення обертів двигуна до 4000

Однією із задач діагностики роботи автомобільного двигуна, яка вирішувалася спільно з колегами із Технічного університету являлося знаходження відсутності запалення в циліндрах. Для цієї цілі, щоб не встановлювати додаткових датчиків, було запропоновано аналізувати інформацію, надходжуючу з датчиків швидкості обертання валу двигуна. В якості датчика використовувався диференціальний датчик Холла, розположений в безпосередній близькості від зубчастого колеса, закріпленого на валу. При обертанні зубчастого колеса датчик Холла генерував на своєму виході послідовність логічних імпульсів, відмічаючи моменти проходження зубців. Тривалість часового інтервалу між кожними сусідніми імпульсами підраховувалася мікропроцесорним контролером, і отримана таким чином числова послідовність потім проходила цифрову обробку. На рис. а) показаний сигнал отриманий після цифрової фільтрації при нормальній роботі чотирьох тактного двигуна. Кожні чотири сплески відповідають спрацюванню чотирьох циліндрів і одному циклу роботи двигуна. Більше значення сигналу приходиться на більший часовий інтервал і найменшу швидкість обертання зубчастого колеса.

Вигляд сигналу при відсутності запалення в одному із циліндрів показаний на рис б), Представлений сигнал отриманий в результаті цифрового звертання сигналу з датчика з вікном Бартлетта 29-го порядку і відповідає швидкості обертання 2000 об/хв. Легко знаходиться різке зниження швидкості обертання валу на кожному четвертому сплескові служить надійною ознакою порушення роботи двигуна.

На рис в),г) представлені сигнали, виникаючі при відсутності запалення в одному із циліндрів на швидкості обертання валу двигуна 4000 об/хв, отримані в результаті фільтрації за допомогою вікна Бартлетта в одному випадку 29-го а в іншому 63-го порядку. Я можемо спостерігати, використання вікна Бартлетта того ж порядку, що в прикладі б), вже не настільки ефективно. Характерна періодичність сигналу, виражається в різкому зниженні швидкості обертання валу на кожному четвертому сплескові, не є яскраво вираженою, а спотворена впливом завад. Однак збільшення порядку фільтра в два рази дозволяє отримати на швидкості обертання 4000 об/хв ту ж якість фільтрації, що і при використанні вікна Бартлетта 29-го порядку на швидкості обертання 2000 об/хв. А внаслідок цього стає можливим застосовувати як на високих, так і на низьких швидкостях обертання валу один алгоритм визначення порушення роботи двигуна.

В більш загальному випадку при проектуванні цифрових фільтрів необхідно враховувати зміни часу поступання відліків при зміні частоти вимірюваного сигналу.

Найпростішим вирішенням є розрахунок цифрового ФНЧ для сигналу з максимальною частотою. Це означає, що тип фільтру і його порядок обираються таким, щоб забезпечити необхідне подавлення завад в необхідному діапазонні частот при максимальній частоті дискретизації вхідного сигналу. На рис 2 відображена АЧХ цифрового ФНЧ з скінченною імпульсною характеристикою, пригнічуючою завади з частотами вище 25 Гц для вхідного сигналу з частотою нижче 400 Гц. Прототипом фільтру являється вікно Блекмана 50-го порядку. Природньо, що з пониженням частоти дискретизації частота зрізу фільтра пропорціонально знижується.

Недоліком даного підходу при проектуванні цифрових фільтрів для дискредитованих частотних сигналів є неоправдане зростання часу отримання результату вимірювання при пониженні частоти вхідного сигналу. Дане явище спостерігається внаслідок того, що фільтр максимального порядку застосовується в усьому діапазоні частот вхідного сигналу.

Другим способом проектування цифрових ФНЧ для частотних сигналів є попередній розрахунок аналогового прототипу фільтра в аналітичній формі, а потім його дискретизація кожний раз в відповідності з зміною частоти вхідного сигналу.

Необхідно зауважити, що на низьких частотах вхідного сигналу вже не можна знехтувати спотворенням частотної характеристики фільтра внаслідок повторення спектра з частотою дискретизації (aliasing). Наявність цього явища знижує ефективність придушення перешкод на низьких частотах вхідного сигналу і обмежує сферу застосування даного методу проектування цифрових ФНЧ для частотних сигналів.

Третій спосіб проектування цифрових ФНЧ для частотних сигналів ґрунтується на інтерполяції імпульсної характеристики фільтра, розрахованого для мінімальної частоти дискретизації. Попередньо обчислюється мінімальний набір коефіцієнтів фільтра для найнижчої частоти вхідного сигналу / min. Потім в результаті інтерполяції визначається необхідне число коефіцієнтів фільтра, відповідно поточній вхідній частоті, рівній частоті дискретизації 12]. Даний метод дозволяє реалізувати цифровий фільтр, який має задані частотні властивості у всьому діапазоні частот вхідного сигналу, проте досить великий обсяг обчислень уможливлює його застосування тільки для високопродуктивних мікропроцесорних систем цифрової обробки сигналів.

Крім того, при проектуванні цифрових фільтрів для частотних сигналів може бути застосована техніка проектування адаптивних фільтрів. Застосування адаптивного фільтра дозволяє забезпечити ефективну фільтрацію при змінній частоті дискретизації, в той час як попередні способи проектування цифрових фільтрів для частотних сигналів припускають, що частота дискретизації протягом однієї реалізації фільтра постійна або її зміною можна знехтувати. Таким чином, застосування сучасної техніки цифрової обробки сигналів для вимірювання частоти дозволяє як підвищити точність вимірювання, так і забезпечити фільтрацію частотного сигналу від перешкод.

Частотна похибка виникає лише у вольтметрах змінного струму. Основна причина появи цієї похибки – залежність індуктивного опору котушки приладу від частоти. Крім того, частотні похибки виникають через вплив вихрових струмів у металевих частинах приладу. Вони зменшують основний магнітний потік приладу. Крім того, у вольтметрах, що зібрані з діодними випрямлячами, частотні похибки обумовлені наявністю ємностей діодів.