Окружность.

Если расстояние от центра окруж ности до прямой < радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является секущей.

Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является касательной

Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих точек.

Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове-

дённому в точку касания.

Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

АВ = АС, ‹3 = ‹4

Теорема: Если прямая проходит

через конец r, лежащий на окруж-

ности, и перпендикулярна к этому

r, то она является касательной.

Градусная мера дуги окружности

Если дуга АВ окружности с центром

О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ.

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема: Вписанный угол измеряя- ется ½ дуги, на которую он опирается.

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны.

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.

Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

АЕ* ВЕ = СЕ* DE

Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая

от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

MK = ML

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема: Каждая точка се-

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез- ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему.

Серединные перпендикуляры к сторо-

нам треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема: Высоты треугольника

(или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Вписанная и описанная окружности

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.

Замечания:

1. В 3-угольник можно вписать только одну окружность.

2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD

Теорема: Около любого треугольника можно описать

окружность.

Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Обратное: Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.