Соотношения между сторонами и углами 3-угольника. Скалярное произведение векторов.

Для любого угла α из промежутка 0° ≤ α ≤180° sin угла α называется ордината у точки М, а cos угла α – абсцисса х угла α.

tg угла α(α≠90°) называется отношение sinα/cosα, т.е.

tg α= sinα/cosα

Теорема: S треугольника равна половине произведения двух его сторон на sin угла между ними.

S= ½ a*b*sin C

Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам против-олежащих углов.

Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а²=b²+с²-2bс cos α

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на cos угла между ними.

Теорема: Скалярное произведение векторов { х₁; у₁ } и { х₂; у₂ } выражается формулой:

* =х₁ х₂ +у₁ у₂.

Следствие 1. Нулевые векторы

{ х₁; у₁} и { х₂; у₂ } перпендикулярны тогда и только тогда, когда х₁ х₂ + у₁ у₂ = 0

Следствие 2. cos угла а между нулевыми векторами { х₁; у₁} и { х₁; у₁ } выражается формулой:

.

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов , , и любого числа k справедливы соотношения:

1. ≥ 0, причем > 0 при ≠

2. * = * (переместительный закон).

3. ( + ) * = * + * (распределительный закон).

4. ( k * ) * = k* ( * ) (сочетательный закон)