Векторы.

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеарным любому вектору.

На рисунке векторы , , , , (вектор нулевой) колли-

неарны, а векторы и , a также и не коллинеарны.

Если 2 вектора направлены одинаково, то эти векторы – сонаправлены.

Обозначается : : ↑↑

Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены.

Обозначается: : ↑↓

Определение: Векторы,

называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Обозначается: =

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Теорема: для любых векторов :

, , справедливы равенства:

1. + = +

(переместительный закон);

2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательный закон).

Теорема: Для любых векторов и справедливо равенство

– = + (- ).

• Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

• Для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.

Для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:

1⁰.(k*l) =k(l* ) (сочетательный закон)

2⁰.(k + l) =k + l (первый распределительный закон)

3⁰ k( + ) = k + k ) (второй распределительный закон)

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

MN =

Лемма: Если векторы , коллинеарны и ≠ 0, то существует такое число k, что =k

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом .

Каждая координата суммы двух

векторов равна сумме соответ-ствующих координат этих векторов.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соот-

ветствующих координат этих векторов.

Пример: Если {х₁; y₁} и { х₂; y₂} - данные векторы, то вектор - имеет координаты {х₁ - х₂; у₁-у₂}.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x₀;y₀) имеет вид: (x –x₀)² + (y – y₀)² =r²