14. Теорема дискретизации Котельникова в.А. И ее особенности.
В качестве достаточно универсальной модели сигнала принимается случайный процесс.
Пусть каждая из реализаций этого случайного процесса представляет функцию с ограниченным спектром ω ≤ ωmax = 2πƒmax.
В этом случае для преобразования непрерывного сигнала в дискретно-непрерывный можно использовать теорему Котельникова.
В 1933 году Котельникова В.А. доказал, что сигнал, описываемый функцией с ограниченным спектром, полностью определяется дискретным рядом значений, отсчитанных через максимально допустимые интервалы времени
,
где ƒmax – максимальная частота в спектре сигнала.
Следовательно,
если требуется передать сигнал,
описываемый дискретной функцией ƒ(t)
с ограниченным спектром, то достаточно
передавать отдельные мгновенные
значения, отсчитанные через конечный
промежуток времени
.
По этим значениям непрерывный сигнал
может быть полностью восстановлен на
выходе системы:
.
Это положение объясняется тем, что отсутствие высших гармоник в составе ƒ(t) накладывает ограничения на способы, которыми могут быть соединены каждые две соседние точки.
Рис. 9.3
Доказательство состоит в разложении функции ƒ(t) в особого рода ряд.
В общем случае
,
где
.
В данном, частном случае имеем
.
В момент времени
;
Функция же F(jω) на конечном промежутке (–ωm; ωm) может быть разложена в ряд Фурье по частотам следующим образом (путём её периодического продолжения с периодом 2ωm на весь интервал частот ω от –∞ до ∞)
;
;
где
;
Рис. 9.4
Из сравнения (9.1) и (9.2) следует
.
Таким образом
коэффициенты An
пропорциональны значениям функции ƒ(t)
в дискретные момента времени
.
Коэффициенты An
полностью определяют F(jω), а
последняя полностью определяет функцию
ƒ(t). Следовательно, знание
значений функции ƒ(t) в моменты времени
достаточно
для полного определения функции ƒ(t).
Рассмотрим теперь восстановление функции ƒ(t) по её значениям в моменты времени tn.
F(jω) – периодическая;
ƒ(t) – в пределах 1-го периода.
если заменить на f(nΔt), то изменится знак в e–jnΔtω
Восстановление идет по функции.
1. f(nΔt) – значения f(t) в моменты времени nΔt.
2.
–
функция, принимающая max = 1 в точке t
= nΔt, а в остальных точках kΔt,
где k ≠ n равна нулю, так как t
= kΔt, то
.
Рассмотрим смысл этого выражения.
Рис. 9.5
Свойства ряда Котельникова:
1. Каждое слагаемое
превращается в нуль при всех значениях,
при которых
(уже
показали).
2. Для восстановления истинного значения функции в любой момент времени, кроме точек отсчета, нужно вычислять бесконечную сумму ряда. Это существенный недостаток теоремы Котельникова.
3. Теорема Котельникова применима лишь для сигналов с ограниченным спектром, т.е. принципиально для сигналов бесконечных во времени.
Несмотря на указанные недостатки, теорема Котельникова широко используется на практике при наличии ограничений на спектр сигнала.