Примеры решения задач

1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct³ , где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c³. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t₁=1 с до t₂=6 с.

   Дано:	Решение:
   x=A+Bt+Ct3 А=3 м В=2,5 м/с С=0,25м/c3 t1=1 с t2=6 с	Средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, тогда модуль средней скорости равен: , где =3+2,51+0,2513=5,75 м
   Найти:  - ? а - ?	=3+2,56+0,2563=72 м Средняя скорость:
   	Среднее ускорение это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, тогда модуль среднего ускорения равен: , где Среднее ускорение: Ответ: ; .

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону . Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.

   Дано:	Решение:
   r=0,1 м t=4 с	Угловая скорость  вращающегося тела равна первой производной от угла поворота от времени:
   Найти: а - ?	В момент времени t=4 с: =20-44=4 рад/с
   	Угловое ускорение  вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени: рад/с2 Материальная точка, принадлежащая телу, движется по окружности радиуса r. Движение материальной точки ускоренное с постоянным угловым ускорением (=const). Следовательно, тангенциальное ускорение а будет посто- янным, а нормальное ускорение аn непрерывно возрастаетсо временем, т.е. вектор полного ускорения точки со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Полное ускорение точки, движущейся по окружности, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории. Модуль полного ускорения: (1)
   	Тангенциальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой: а=r, (2) где  - угловое ускорение тела. Нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой: аn=2r, (3) где  - угловая скорость тела. Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем (4)
   	Подставив найденные значения  и  и заданное значение r в формулу (4), получим: м/с2 Направление полного ускорения определится, если найти угол, который вектор ускорения образует с нормалью к траектории (см. рис.): или (5) По формулам (2) и (3) найдем значения и : =-0,4 м/с2, =1,6 м/с2. Подставив эти значения и значение полного ускорения в формулы (5), получим: cos=0,97, sin=0,24.
   	Пользуясь тригонометрическими таблицами или калькулятором, найдем значение угла : 14. Ответ: a=1,65 м/с2, 14.

3. Автомашина массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути, и за 5 мин преодолевает путь S=5 км. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность.

   Дано:	Решение:
   m=1,8 т=1800 кг h=3 м l=100 м t=5 мин=300 с S=5 км=5000 м =0,1	С делаем рисунок. Покажем, какие силы действуют на автомашину.
   Найти: A-? P-?	Уравнение движения автомашины в векторной форме:
   	Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y (см. рис.): ox: oy: Из последнего , тогда . Сила тяги двигателя автомашины будет равна: Работа, совершаемая двигателем автомашины: , где , , Подставляем числовые значения и получаем: = =12,7 МДж Средняя мощность, развиваемая двигателем автомашины: кВт
   	Максимальная мощность, развиваемая двигателем автомашины: , где Подставляем числовые значения и получаем: 84 кВт Ответ: A=12,7 МДж; P=42 кВт; Pmax=84 кВт.

4. Шар массой m₁=3 кг движется со скоростью ₁=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

   Дано:	Решение:
   m1=3 кг 1=2 м/с m2=5 кг	Работа будет равна изменению кинетической энергии системы: , (1)
   Найти: A - ?	где кинетическая энергия шаров до столкновения: (2)
   	Она равна кинетической энергии первого шара, т.к. второй шар покоится. (3) кинетическая энергия шаров после столкновения. Здесь скорость u – скорость системы двух шаров после столкновения. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса: (4) Из выражений (1) – (4) окончательно получаем: Подставляем числовые значения и получаем: Дж Ответ: А=3,74 Дж

5. Камень брошен со скоростью ₀=15 м/с под углом =60 к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг.

   Дано:	Решение:
   0=15 м/с =60 t=1 с m=0,2 кг	Движение камня сложное, криволинейное: вдоль оси OX равномерное с постоянной скоростью , (1) а вдоль оси OY равнопеременное с постоянным ускорением g=9,8 м/с2:.
   Найти: Wк - ? Wп - ? W - ?	(2)
   	Через t=1 с скорость камня будет равна: (3)
   	Кинетическая энергия камня через t=1 с будет равна: Найдем на какой высоте окажется камень через t=1 с: Тогда потенциальная энергия камня в этот момент равна: Полная механическая энергия камня через t=1 с равна: В верхней точке траектории , следовательно, полная скорость в этой точке равна: . Тогда кинетическая энергия в верхней точке траектории равна: Чтобы найти потенциальную энергию в верхней точке траектории, найдем максимальную высоту подъема.
   	Для этого найдем время подъема. В верхней точке траектории , следовательно, Отсюда получаем время подъема: Зная время подъема, можно найти максимальную высоту подъема: Найдем потенциальную энергию в верхней точке траектории:
   	Полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна: Видно, что выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна полной механической энергии камня через 1 с после начала полета. Ответ: Wк=5,6 Дж; Wп=16,9 Дж; W=22,5 Дж.

6. Две гири с массами m₁=2 кг и m₂=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m=1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Дано:	Решение:
m1=2 кг m2=1 кг m=1 кг	Запишим уравнения движения гирь:
Найти: a - ? Т1 - ? Т2 - ?
	Запишим эти уравнения в проекциях на ось Y: (1) (2) Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, и разность сил натяжения будет создавать момент сил, вращающий блок. Запишим основной закон динамики: , (3)
	где , а - момент инерции блока. Решая (1) - (3) совместно, найдем м/с2 (4)
	Подставляя (4) в (1) и (2), получим =14 Н =12,6 Н Ответ: a=2,8 м/с2; T1=14 Н; T2=12,6 Н.

7. Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n=1/6 с^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

   Дано:	Решение:
   R=1,5 м m1=180 кг n=1/6 с-1 m2=60 кг	По закону сохранения момента импульса: , (1) где Jпл, Jчел – моменты инерции платформы и стоящего в ее центре человека; 1 – угловая скорость платформы с
   Найти:  - ?	человеком, стоящим в ее центре; - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; 2 – угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением: =2R (2) Определив из уравнения (1) 2 и подставив полученное выражение в (2), будем иметь: (3)
   	Момент инерции платформы определим как для диска: Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки: ,
   	Угловая скорость платформы до перехода человека из центра на край платформы: =2n. Заменив в формуле (3) величины Jпл, Jчел, , и 2 их выражениями, получим:
   	Подставляем числовые значения и получаем: м/с Ответ: =1 м/с.

8. К пружине подвешен груз массой m=10 кг, который совершает колебания с амплитудой 5 см. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l=1,5 см, найти: частоту, период и циклическую частоту вертикальных колебаний пружины, жесткость пружины, полную энергию, максимальную скорость и максимальное ускорение.

   Дано:	Решение:
   m=10 кг А=5 см=0,05 м F=9,8 Н l=1,5 см=0,015 м	Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид: , (1) где s – смещение маятника от положения равновесия;
   Найти:  - ? T - ?  - ? k - ? W - ? max - ? amax - ?	А – амплитуда колебаний; =2 – циклическая частота; - частота колебаний; Т – период колебаний; 0 – начальная фаза.
   	Из закона Гука F=kl найдем коэффициент жесткости пружины: ; 653 Н/м Зная коэффициент жесткости пружины, найдем период колебаний груза на пружине: ; с Следовательно, частота и циклическая частота соответст венно равны:
   	; Гц; =2=23,141,25=7,85 с-1
   	Скорость колебаний: , (2) где max=А - максимальная скорость колебаний. max=0,057,85=0,4 м/с Ускорение маятника: , (3) где - максимальное ускорение. м/с2 Полная энергия маятника: Дж Ответ: k=653 Н/м; Гц; Т=0,8 с; =7,85 с-1; max=0,4 м/с; м/с2; W=0,77 Дж.

9. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 0,75 м.

Дано:	Решение:
=150 м/с x=0,75 м	Разность фаз колебаний двух точек волны:
Найти:  - ?	Отсюда длина волны будет равна:
	По условию задачи = - точки колеблются в противоположных фазах.Тогда =2x (1) Длина волны связана с частотой соотношением: (2) Подставляем (1) в (2) и выражаем частоту: Гц
	Ответ: =100 Гц