Пример решения контрольной работы Задача 1
Две грузовых машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 17 часов до 18.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 5 минут. Найти вероятность того, что одной из машин придётся ждать окончания погрузки другой.
Решение
П
усть
первая машина подошла на погрузку через
x минут после 17 часов, а вторая –
через y минут. Тогда время прибытия
машин можно изобразить точкой на
координатной плоскости. Так как обе
координаты могут принимать значения
от 0 до
,
то все возможные исходы данного опыта
будут представлены точками квадрата
со стороной, равной 90 минут.
Исходы, благоприятствующие искомому событию А – одной из машин придётся ожидать окончания погрузки другой, изобразятся точками той части квадрата, которые являются решением системы неравенств:
Чтобы изобразить указанную область
нарисуем прямые
и
.
Для удобства уравнения этих прямых
можно преобразовать к виду:
и
.
Первая прямая проходит через точки (10;
0) и (90; 80). Вторая прямая проходит через
точки (0; 5) и (85; 90). Нарисованные прямые
делят квадрат на три части. Подставив
координаты точки из средней части
квадрата, например, точки (45; 45), убеждаемся,
что оба неравенства выполняются в
средней части квадрата, заштрихованной
на рисунке.
Искомая вероятность будет равна отношению
заштрихованной площади
к площади квадрата. Величину
можно найти, вычтя из площади квадрата
площадь двух прямоугольных треугольников.
.
О
твет:
0,159.
Задача 2
Определить надёжность схемы, представленной на рисунке, где - вероятность безотказной работы i -того элемента.
Решение
Соединение элементов, представленное на схеме, является комбинированным, так как содержит и последовательное и параллельное соединение.
Напомним, что при последовательном соединении система работает, если работают все элементы, соединённые последовательно; и не работает, когда не работает хотя бы один элемент. При параллельном соединении система работает, если работает хотя бы один элемент системы; и не работает, когда не работает ни один элемент.
Выделим участок схемы, содержащий последовательное соединение элементов (1) и (4) в отдельный элемент (5). Участок схемы, содержащий параллельное соединение элементов (2) и (3), выделим в элемент (6).
Обозначим В – событие, состоящее в
том, что элемент (5) работает,
- противоположное событие, состоящее в
том, что элемент (5) не работает.
Соответственное, событие С – это
безотказная работа элемента (6),
- событие состоящее в том, что элемент
(6) не работает.
Событие, состоящее в том, что работает вся схема обозначим А. Так как элементы (5) и (6) соединены последовательно, то для наступления события А необходимо, чтобы работал хотя бы один из элементов (5) и (6): работают оба, работает (5) и не работает (6), не работает (5) и работает (6). Тогда событие А :
.
Соответственно, его вероятность
.
Учитывая, что
;
;
;
получим:
.
Ответ: вероятность безотказной работы схемы равна 0,963.
Задача 3
На склад поступают запасные детали от двух поставщиков. 60 % деталей приходит от первого поставщика, остальные 40 % - от второго. Среди продукции первого поставщика в среднем 5 % продукции оказываются нестандартными. В продукции второго поставщика нестандартных деталей в среднем 3 %.
а) Найти полную вероятность того, что наугад взятая запасная деталь окажется нестандартной.
б) Если наугад взятая деталь оказалась нестандартной, какова вероятность, что она от второго поставщика?
Решение
а) Обозначим А – событие, состоящее в
том, что наугад взятая деталь нестандартная.
Оно может произойти вместе с одним из
двух событий, образующих полную группу:
- запасная деталь от первого поставщика;
- деталь от второго поставщика. Тогда
согласно формуле полной вероятности:
.
Используя данные задачи, вычислим:
.
б) Вероятность
того, что деталь от второго поставщика,
если она оказалась нестандартной, найдём
по формуле Байеса (формуле гипотез):
.
Ответ: а) 0,042; б) 0,286.