2. Численные методы решения задач

2.1. Решение нелинейных уравнений

Математические модели реальных объектов, как правило, описываются нелинейными уравнениями. Нахождение корней нелинейных уравнений - одна из древнейших математических проблем, которая не потеряла своей остроты и в наши дни: она часто встречается в самых разнообразных областях науки и техники.

2.1.1. Постановка задачи

Требуется найти такие значения аргумента x, для которых справедливо уравнение

(1) где функция дифференцируема. При этом уравнение (1) может быть алгебраическим или трансцендентным^.

Корень  уравнения (1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения (рис. 1а), точки касания (рис. 1б) или другой общей точки (рис. 1в) графика функции и оси х.

Рис. 1

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения (1) в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Примером такого решения является нахождение корней квадратного уравнения, известного из школьного курса алгебры.

В дальнейшем будут рассматриваться только уравнения, которые, как правило, не имеют аналитических формул для вычисления корней уравнения. Для них приходится пользоваться итерационными методами нахождения решения, которые состоят из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня (отделение корня), т.е. нахождение такого конечного промежутка, внутри которого имеется единственное решение данного уравнения (1). Отделение корней можно осуществить аналитическим (находя критические точки функции) и графическим (путем построения графика функции) способами.

Для отделения корней применяют следующий критерий: если на отрезке [a; b] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения (1). Достаточным признаком монотонности функции на некотором отрезке является сохранение знака ее производной на этом отрезке (если , то функция возрастает; если , функция убывает).

2. Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В практических задачах решением называют любое значение аргумента x отличающееся по модулю от точного значения корня  не более чем на малую величину .

В общем случае итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_к, ... Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня

, то говорят, что итерационный процесс сходится.

2.1.2. Метод Ньютона

В основе метода Ньютона (метода касательных) лежит разложение функции f(x) в ряд Тейлора:

Члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются, используется соотношение и предполагается, что при . Отсюда получается итерационная формула

, (2)

Графическое представление метода показано на рис. 2. В точке (х₀, f(х₀)) проводят касательную к графику функции f(x) и точку пересечения ее с осью х принимают за новое приближение x₁. Для него строят новую касательную, находят точку х₂ и т.д. до тех пор, пока значение не станет достаточно близко к корню .

Счет прекращается, когда выполняется условие

. (3)

Рис. 2

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости для .достаточно гладких функций f(x). Быстрота его сходимости в большой степени зависит от выбора начального приближения х₀. Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется неравенство

, (4) поэтому чаще всего в качестве начального приближения выбирают тот конец интервала [а; b], на котором знаки f и f ’’ совпадают (условие Фурье).

Достоинством этого метода является его быстрая сходимость, а недостатком то, что помимо надо вычислять и , поэтому метод применим, если вычисление производной f  ' не сложнее, чем вычисление функции f.

Пример 2.1. Найти корень уравнения

(5)

на отрезке [0;2] с точностью  = 0,01 методом Ньютона.

Решение

Из уравнения (5) имеем . Вычисляя производные, получаем , . Проверим выполнение условия Фурье (4) на границах заданного интервала [0;2]. Примем , тогда

, .

Таким образом, имеем и условие (4) не выполняется. Принимая х = 2, получим

, .

Условие (4) выполнено, поэтому в качестве , выбираем . Выполним первую итерацию по формуле (2):

.

Проверим выполнение условия (3):

.

Поскольку условие не выполняется, то делаем следующую итерацию:

, при этом

.

Условие (3) не выполнено, поэтому делаем еще одну итерацию:

, т.к.

, то счет прекраща­ется.

Таким образом, нам потребовалось 3 итерации для нахождения корня х = 1,172 с точностью f(х)=0,003.