2.5. Методы обработки числовых данных
Данные, с которыми приходится иметь
дело инженеру, часто представляются в
виде таблиц. Таким образом, функция
у = f(x) задается не аналитическим
выражением, а в виде пар чисел
,
.
Обычно так представляются результаты
экспериментов, обработка статистических
наблюдений и т.д. Поэтому встает задача
аппроксимации дискретной зависимости
непрерывной
функцией
,
т.е. задача построения математической
модели функции по ее известным значениям.
В зависимости от специфики задачи функция f(х) может отвечать различным требованиям (рис. 4):
1. Функция
должна проходить через точки
т.е.
.
В этом случае говорят об интерполяции данных функции во внутренних точках между и об экстраполяции ее за пределами интервала, содержащего все .
2. Функция
должна приближать
,
не обязательно проходя через точки
,
сглаживая экспериментальную зависимость.
Это задача регрессии.
3. должна приближать , учитывая, что данные получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. Задачи такого типа называют задачами фильтрации.
В задачах регрессии данные приближаются
некоторой функцией
таким образом, чтобы минимизировать
совокупность ошибок
.
Тогда задача нахождения эмпирической
функции
разбивается на 2 этапа:
1. установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической и т.п.;
2. определить неизвестные параметры функции . Чаще всего параметры функции определяют по методу наименьших квадратов.
Обозначим
,
.
Величины
называют невязками или отклонениями
теоретических значений
от соответствующих экспериментальных
значений
(рис. 5).
В методе наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие, чтобы сумма квадратов невязок была минимальной, т.е.
.
Возьмем, например, в качестве функции
линейную функцию
.
Задача сводится к отысканию значений параметров а и дающих минимум функции
.
Такая функция является функцией двух переменных а и b, т.к. значения и – постоянные числа.
Для того чтобы найти минимум такой функции нужно приравнять к нулю ее частные производные, т.е.
или
(20)
Преобразуем систему (20):
(21)
Эта система называется системой нормальных уравнений.
После ее решения определяются параметры а и b. Можно доказать, что в точках а и b функция S имеет минимум.
Аналогичным образом можно получить уравнения для определения коэффициентов при других типах функций.
Пример 2.5. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной таблицей (табл. 8).
Таблица 8
x |
-2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
y |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
Решение
Сведем все вычисления, необходимые для составления нормальной системы уравнений (21), в таблицу (табл. 9).
Таблица 9
|
|
|
|
|
|
–2 |
0,5 |
–1 |
4 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1,5 |
1,5 |
1 |
|
2 |
2 |
4 |
4 |
|
4 |
3 |
12 |
16 |
Σ |
5 |
8 |
16,5 |
25 |
Тогда система нормальных уравнений (21) имеет вид
Отсюда
или
;
.
Получаем зависимость
y = 0,425х + 1,175.
Для сравнения полученной зависимости и исходных данных
можно составить таблицу
x |
–2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
y |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
0,425x+1,175 |
0,325 |
1,175 |
1,6 |
2,025 |
2,875 |
δ |
–0,175 |
0,175 |
0,1 |
0,025 |
–0,125 |
Таким образом, разность полученных на основе прямой значений и заданных в табл. 8 составляет менее 10 %.