5.5. Построение переходного процесса в скорректированной системе.

Известно несколько способов построения переходных процессов: прямое решение однородного дифференциального уравнения замкнутой системы; решение уравнения замкнутой системы в операторной форме с использованием обратного преобразования Лапласа и применение метода трапеций к ВЧХ замкнутой системы.

1) Однородное дифференциальное уравнение скорректированной замкнутой системы имеет следующий вид

Используя известные численные методы решения такого вида уравнений, например пакеты прикладных программ Mapl и MatCad, получим следующий вид переходного процесса (рис.25).

Как видно из графика длительность переходного процесса равна 0,42 с, а перерегулирование =15%, что удовлетворяет исходным требованиям, предъявляемым к системе управления.

Рис. 25. Переходный процесс в скорректированной системе.

2) Приближенные методы построения переходных процессов (Метод трапеций).

Используя комплексный коэффициент передачи замкнутой системы и разложение входного воздействия в ряд Фурье можно получить переходную функцию h(t). Проделав соответствующие преобразования, она приводится к следующему виду

, (32)

где P()–вещественная частотная характеристика замкнутой системы управления. Интегрирование этого выражения представляет большие трудности. Поэтому обычно используется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятие типовой единичной тра­пецеидальной вещественной характеристики (рис. 26).

Рис. 26. Типовая единичная тра­пецеидальная вещественная частотная характеристика

Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза _с, также равную едини­це, точнее, 1 сек^-1. Единичная трапеция характеризуется часто­той излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции

. (33)

Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (32) может быть вычислен оригинал, т. е. функция времени. Эта функция получила название h-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h-функций для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах 0< < 1 [1,2,3].

По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может быть построе­на функция времени h(t), где t–безразмерное вре­мя, соответствующее единичной трапецеидальной характеристике. КПивая переходного процесса для ВЧХ с отличными от единицы значениями высоты и частоты среза находится путем соответствующего масштабирования табличных значений h-функции, построенных для заданного коэффициента наклона.

. (34)

Метод построения кривой переходного про­цесса заключается в том, что построенную веще­ственную характеристику исследуемой системы разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными от­резками так, чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная характеристика. Затем для каждой трапеции, определяется коэффи­циент наклона и коэффициент высоты r. При известном коэффициенте наклона по таблицам могут быть построены h-функции для каждой трапеции.

КПивая переходного процесса может быть получена суммированием построенных h-функций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем.

1. Перед сложением ординаты каждой h-функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции, так как h-функция построена для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, распо­ложенных выше абсцисс.

3. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой h-функции, так как они построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза _с = 1 сек^-1. Действительное время равно времени t₀, приведенному в таблице h-функций, деленному на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики.

В этом случае переходный процесс системы равен

, (35)

где п — число трапеций, на которые разбита вещественная характери­стика Р(w).

В заключение заметим, что при построении КПивой переходного процесса по трапецеидальным частотным характеристикам наибольшие ошибки полу­чаются в начальной части кривой, так как отбрасываемый «хвост» веществен­ной частотной характеристики замкнутой системы влияет главным образом именно на начальную часть кривой переходного процесса.

Для рассматриваемого примера с передаточной функцией разомкнутой системы (30) комплексный коэффициент усиления замкнутой скорректированной системы равен

. (36)

ВЧХ замкнутой системы

.

График ВЧХ скорректированной системы приведен на рис. 27.

Рис. 27. ВЧХ замкнутой скорректированной системы

В соответствии с рассмотренной выше методикой разобьем КПивую ВЧХ на три элементарные трапеции со следующими параметрами:

Трапеция №1.

_с1 = 41,6 сек^-1; ₁_с1 = 11,6 сек^-1; r₁=1,5 ; ₁ = 0,28.

Трапеция №2.

_с2 = 5,1 сек^-1; ₂_с2 = 1,9 сек^-1; r₂=0,1 ; ₂= 0,37.

Трапеция №3.

_с3 = 113,8 сек^-1; ₃_с3 = 62,0 сек^-1; r₃= 0,4; ₃= 0,55.

В соответствии с полученными значениями ₁, ₂, ₃ по таблице h-функций [1,2,3] для каждой трапеции находят ряд значений безразмерного времени t₀ и значений h(t₀) и заносят их в таблицу 6.

Таблица 6.

№ трап	Коэф-т наклона	Пара метр	Значения параметров
1	1 = 0,28	t0
		h(t0)
		t=t0/с ,с
		y1(t)= rh(t0)
2	2= 0,37	t0
		h(t0)
		t=t0/с ,с
		y2(t)= rh(t0)
3	3= 0,55	t0
		h(t0)
		t=t0/wс ,с
		y3(t)= rh(t0)

На основании значений, приведенных в таблице 6, строятся графики переходных характеристик для каждой трапеции (рис. 28).

1Тр

3Тр

2Тр

y_рез(t)

Рис. 28. Графики переходных процессов, построенные с помощью метода трапеций

Исходя из анализа вида трапеций, результирующий переходный процесс может быть найден следующим образом.

Как видно из графика результирующего переходного процесса его длительность равна 0,28 с, а перерегулирование <20%, что удовлетворяет исходным требованиям, предъявляемым к системе управления.

Расхождение полученных результатов и результатов численного дифференцирования, вероятно, объясняются более высокими требованиями последнего к точности исходной информации, полученной приближенными графическими методами.