8. Ядерные реакции.

Ядерные реакции – это превращение атомных ядер, вызванные взаимодействиями их друг с другом или с элементарными частицами:

.

При ядерных реакциях выполняются законы сохранения массового и зарядового чисел:

А₁ +А₂ = А₃ + А₄ ,

Z₁ + Z₂ = Z₃ + Z₄ ,

где индексы 1 и 2 относятся к исходным реагентам, а 3 и 4 – к продуктам реакции.

Сокращенный способ записи ядерных реакций: записывается бомбардируемое ядро (мишень), затем в скобках указывается на первом месте налетающая частица (снаряд), а за ней – все частицы, вылетевшие в результате реакции; после скобок обозначается получившееся ядро (продукт).

Энергетический эффект ядерной реакции:

Q = c²[(m₁ + m₂) – (m₃ + m₄)],

где m_i – масса реагентов.

Если (m₁ + m₂) > (m₃ + m₄), то энергия выделяется, энергетический эффект положителен (Q > 0) – экзотермическая реакция, если (Q < 0) – реакция эндотермическая.

При расчете энергии (или мощности), выделяющейся при работе ядерного реактора надо учитывать, что при делении одного ядра урана – 235 освобождается энергия 200 МэВ.

Примеры решения задач.

Задача. 1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютного черного тела = 0,58мкм. Определить:

I) энергетическую светимость R_е поверхности тела; 2) максимальную спек­тральную плотность энергетической светимости, рассчитанную на интервал длин волн Δ = I нм вблизи .

Решение. Энергетическая светимость абсолютно черного тела , в соответствии с законом Стефана-Больцмана, пропорциональна четвер­той степени абсолютной температуры и выражается формулой:

R_е = . (I.I)

Температуру, входящую в формулу (I.I), можно вычислить с по­мощью закона смещения Вина:

. (1.2)

Выражая из формулы (1.2) Т и подставляя ее в формулу (I.I), получим

(1.3)

Проверим единицы измерения искомой величины:

[ ] =

Подставим числовые значения в формулу (1.3) и произведем вы­числения

Максимум спектральной плотности энергетической светимости пропорционален пятой степени абсолютной температуры и выражается формулой:

. (1.4)

В эту формулу подставим температуру из выражения (1.2), тогда

, (1.5)

С = .

По условию задачи требуется вычислить спектральную плотность энергетической светимости на интервал длин волн I нм; пересчитаем величину С на данный интервал длин волн:

Проверим единицы измерения искомой величины:

.

Произведя вычисления, получим:

или

Задача 2. Определить максимальную скорость V_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности металла под действием излучения с длиной волны = 0,1 мкм. Работа выхода элек­трона из данного металла 4 эВ.

Решение

Для расчета максимальной скорости фотоэлектронов воспользуем­ся уравнением Эйнштейна:

= А_вых + W_max (1.6)

Кинетическая энергия, которую приобретает фотоэлектрон, равна разности энергии фотона, падающего на металл, и работы выхода элек­трона из металла. Для расчета кинетической энергии электрона можно воспользоваться формулой классической механики

. (1.7)

,

откуда

. (1.8)

Проверим единицы измерения искомой величины

[V] = [( )^1/2] = = ( )^1/2 = м/с

Подставим значения величин в формулу (1.8):

V_max = м/с =

Задача 3. Фотон с энергией 0,8 МэВ испытывает комптоновское рассеяние на электроне под углом 120⁰. Определить энергию фотона после рассеяния и изменение энергии электрона.

Решение.

Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Энер­гия падающего фотона равна сумме энергии рассеянного фотона и ΔЕ - изменения энергии электрона, испытавшего столкновение с фотоном

ΔЕ

Электрон, который в эффекте Комптона приобретает импульс и энергию, называют электроном отдачи.

Энергия рассеянного фотона равна:

= ,

где -длина волны рассеянного фотона:

(1.9)

Выразим длину волны падающего фотона через энергию фотона:

.

После подстановки значений и в (1.9) получим выраже­ние для энергии рассеянного фотона:

,

откуда

=

или после сокращения на h:

= (1.10)

Проверим единицы измерения искомой величины:

[ ] = = Дж.

Выполним вычисления в системе СИ:

Дж =

Изменение энергии электрона равно:

,

или после подстановки:

Задача 4. Найти наименьшую и наибольшую длины волн ультрафиолетовой серии водорода (серия Лаймана).

Решение Для серии Лаймана квантовое число общего нижнего электронного уровня

n = 1. Поэтому формула для приобретает вид:

Видно, что λ_max получится, если квантовое число верхнего уровня будет минимальным; квантовое число n должно быть больше m, поэтому n_min = 2 (переход электрона с первого возбужденного уровня).

Итак,

,

откуда

λ_max = м = 121,4 нм.

Минимальная длина волны серии Лаймана соответствует переходу с уровня, обладающего наибольшим значением n. В пределе n .

Таким образом:

,

т.е. λ_min = м = 91,1 нм

итак,

λ_max = 121,4 нм,

λ_min = 91,1 нм.

Задача 5. Найти скорость электрона, обладающего кине­тической энергией I МэВ. Найти длину волны де Бройля такого элек­трона.

Решение. Сравним кинетическую энергию электрона с его энергией покоя Е₀ , чтобы определить, в каких условиях находится частица - классических или релятивистских:

Е₀ = m₀c² =

Так как , то условия релятивистские.

Для определения длины волны де Бройля применим формулу:

м = 87,5 пм;

(1пм = 10^-12 м)

Найдем скорость движения электрона. Для релятивистских усло­вий учитываем изменение массы в зависимости от скорости. Определим сначала величину по формуле:

.

Для вычисления удобно все энергии подставить в мегаэлектронвольтах:

.

Следовательно, скорость электрона:

м/с

Заметим, что использование формул классической механики приве­ло бы

к неправильному результату для скорости. Кинетическая энергия в классических условиях:

,

откуда

м/с > c = 3,10⁸ м/с

Видно, что V_кл > с, что вообще невозможно.

Задача 6. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет Е_к = 20 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Ввиду того, что Е_к << Е₀ (последняя для электрона составляет

0,511 МэВ), импульс электрона можно определить по формуле:

p = =

Неопределенность координаты электрона в атоме Δх можно принять равной радиусу атома Δх = ; используя соотношение неопределенностей в форме , получим:

.

Считаем, что для оценки размера атома можно применять:

Δр_х = р (неопределенность импульса не может быть больше самого импульса). Поэтому:

м

Следовательно, d_min =

Задача 7. При измерении периода полураспада счетчик в течение 1мин насчитал 250 импульсов, а спустя 1 час после начала первого измерения – 92 импульса в минуту. Найти λ и Т.

Решение. Число импульсов Δn, регистрируемых счетчиком за время Δt, пропорционально числу распадов ΔN. При первом измерении:

,

где N₁ – количество радиоактивных ядер к моменту начала первого счета, k – коэффициент пропорциональности.

При втором измерении:

,

где N₂ – количество нераспавшихся ядер к началу второго измерения, Δt₂ = Δt₁ = 1 мин – времена измерений.

Разделим одно уравнение на другое, учитывая, что N₂ = N₁ , где t₃ – время, прошедшее от первого до второго измерения (по условию t₃ = 60 мин), получим:

.

После логарифмирования получим:

.

Итак,

мин^-1 = 0,0166 мин^-1_.

Период полураспада:

мин.

Задача 8. Найти энергию, которая необходима для отрыва одного нейтрона от ядра

Решение. Ядро Na можно рассматривать как систему, образовавшуюся при добавлении одного нейтрона к ядру . Поэтому для решения задачи надо найти энергию связи нейтрона с ядром . Дефект массы при добавлении нейтрона к ядру Na определяется по формуле:

Чтобы перейти к табличным значениям масс изотопа, заменим массы ядер массами атомов. Так как у атомов изотопа Na и одинаковое количество электронов, то при такой замене дефект массы не изменится.

Тогда:

Энергия связи нейтрона в ядре :

Задача 9. Радиоактивное ядро магния ²³Mg выбросило позитрон и нейтрино. Найти энергию β^+_ распада ядра.

Решение. Реакцию β^+_ распада можно записать так:

.

Считая, что ядро Mg было неподвижным, и принимая, что масса нейтрино равна нулю, составим уравнение баланса энергии (символом m_e+ обозначена масса позитрона):

Энергия, выделяющаяся при радиоактивном распаде ядра магния:

Сопоставляя последние выражения, видим, что:

Перейдем от масс ядер к массам атомов:

Так как массы электрона и позитрона одинаковы, то:

Производя подстановку табличных значений (см. приложение), получаем:

Q = 931,4(22,99414 - 22,98977 – 0,00110) = 3,046 МэВ.