Раздел 1. Основные положения теории игр Глава 1. Введение в теорию игр

1.1. Основные понятия и определения теории игр

Одна из характерных черт всякого общест­венного и социально-экономи­ческого явления со­стоит во множественности, многосторонности инте­ресов и в наличии сторон, выражающих эти интересы. Поэтому в процессе це­ленаправ­ленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противопо­ложны (анта­гонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпа­дают. Каждая из сторон сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другой стороны. Столкновение противоположных интересов сторон приводит к возникновению конфликтных ситуаций.

Примерами конфликтных ситуаций могут быть, например:

• аукцион;

• военные операции;

• арбитражные споры¹;

• борьба между блоками избирателей за своих кандидатов;

• в международных отношениях – отстаивание интересов своего государ­ства;

• классическими примерами в экономике являются ситуации, где, с одной стороны, имеется один покупатель, с другой – один продавец (ситуация моно­полия-монопсония), когда на рынок выходят несколько производителей, обладающих достаточной силой для воздействия на цену товара (ситуа­ция олигополии, в том числе дуополии, если число таких участников равно двум).

В таких ситуациях каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Более сложные конфликтные ситуации возникают, если имеются объеди­нения или коалиции лиц, участвующих в столкновении интересов, например, в том случае, когда ставки заработной платы определяются союзами или объеди­нениями рабочих и предпринимателей, при анализе результатов голосования в парламенте и т.п.

Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической поли­тики обычно преследует разнообразные цели, согласуя противоречивые требо­вания, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение до­ходов, снижение экологической нагрузки и т.п.).

Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (случай так называемых "игр с природой").

Множество подобных примеров можно встретить в биологии, со­циоло­гии, психологии, политологии, военном деле и т.д.

И, наконец, примерами игр являются обычные игры:

• салонные;

• спортив­ные;

• карточные.

Именно с анализа подобных игр начиналась математиче­ская теория игр; они и по сей день служат прекрасным материалом для иллюст­рации положений и выводов этой теории.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, при­нимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от дейст­вий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контро­лировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится при­нимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска ана­логичной продукции на других предприятиях.

В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют проти­воположные тенденции. Например, для нормального функционирования произ­водства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресур­сов, но с другой, – стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вы­зывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению.

В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной дея­тельности людей.

Необходимость анализировать такие ситуации привела к возникновению теории игр. Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликт­ных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. та­ких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Т еория игр впервые была систематически изло­жена Джоном (Яношем) фон Нейманом (1903-1957) и Оскаром Моргенштерном (1902-1977) в 1944 г., хотя отдельные ре­зультаты и понятия были зало­жены Эмилем Борелем (1871-1956) еще в 1920-х гг. Нейман и Моргенштерн на­писали ори­гиналь­ную книгу “Тео­рия игр и экономиче­ское по­веде­ние”, которая содержала глав­ным обра­зом экономические примеры, по­скольку экономиче­скому конфликту легче всего придать численную форму.

В этой же работе Нейман и Мор­ген­штерн ис­сле­до­вали связь теории игр с теорией ли­нейного программирования, а также зало­жили основы тео­рии пози­ционных игр. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались во­енные, кото­рые уви­дели в ней аппарат для исследования стратегических решений.

В последствии главное внимание стало уделяться экономическим проблемам. В 1994 г. Джон Нэш (род. 1928) полу­чил Нобелевскую премию в области эконо­мики за определение ситуации равновесия в игре многих лиц. Дальнейшее раз­витие теории игр связано с работами Н.Н Воробьева, Ю.Б. Гер­мейера, Э Му­лена, Х. Никайдо, Л.С. Шепли и др.

Н еобходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр раз­рабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуа­циям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если кон­фликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то ре­комендации теории игр теряют смысл.

Для того чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее матема­тической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие фак­торы, существенно влияющие на ход конфликта. Отсюда, игра – это упрощен­ная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Поэтому можно ска­зать, что игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

• выбор образа действий игроков на каждом этапе игры;

• информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;

• плату каждого игрока после завершения любого этапа игры.

Игра определена, если:

• имеется множество конфликтующих сторон, принимающих решения, ин­тересы которых не совпадают (в литературе по теории игр они имену­ются игроками, субъектами, лицами, сторонами, участниками). В случае, если число игроков конечно, они различаются по своим номерам (l-й иг­рок и 2-й игрок в игре в орлянку или в случае дуополии) или по присваи­ваемым им именам (например, Продавец и Покупатель в ситуации моно­полия - монопсония);

• сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игро­кам. От стратегии, применяемой игроком, зависит величина выиг­рыша. Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Если в процессе игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то такая стратегия называется сме­шанной, а ее элементы чистыми стратегиями.

• определен набор возможных конечных состояний игры (например, выиг­рыш, ничья, проигрыш);

• всем игрокам (участникам игры) заранее известны функции выигрыша (платежи), соответствующие каждому возможному конечному состоя­нию. Функция выигрыша может задаваться либо аналитическим выраже­нием, либо таблично (матрицей).

К вышесказанному можно добавить, что всякая игра состоит из отдель­ных партий. Партией называют каждый вариант реализации игры определен­ным образом. В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов пове­дения. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоя­тельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. На­пример, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма слу­чайного выбора, например, с применением таблицы случайных чисел.

Важными в теории игр являются понятия оптимальной стратегии, цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отражение в решении игры.