2. Геометрическое решение игры m´2

Рассмотрим конечную матричную игру с платежной матрицей Т:

.

Игрок В обладает двумя стратегиями: и ; а игрок А – m стратегиями: . Условимся, что игра не имеет седловой точки, поэтому решение будем искать в смешанных стратегиях. Необходимо найти смешанные стратегии игроков:

и

и цену игры , считая, что , (см. таблицу).

Игроки
…	…	…	…

Решение проводят с позиций игрока B, у которого две стратегии.

Решение игры включает следующие этапы:

1. В декартовой системе координат qOH по оси абсцисс (Оq) строим единичный отрезок. Левый конец отрезка (q=0) соответствует стратегии , правый (q=1) – стратегии . Промежуточные точки отрезка соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий .

2. На оси ординат (OH) откладываются выигрыши при стратегии – (i=1,…,m). На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши при стратегии – (i =1,…,m).

3. Каждую пару точек, соответствующих элементам и (i =1,…,m), стоящим в i-й столбце матрицы Т, соединяем отрезком .

4. Находим верхнюю огибающую семейства отрезков (ломаная линия, выпуклая вниз). Она соответствует наихудшим ситуациям для игрока В или верхней границе цены игры.

5. На верхней огибающей находим минимальную (наинизшую) точку. Она соответствует минимаксной стратегии игрока В.

6. Абсцисса этой точки есть вероятность выбора игроком В стратегии в оптимальной смешанной стратегии – , тогда .

7. Ордината минимальной точки верхней огибающей является ценой игры .

Пример. Задача о выборе минеральных удобрений

Сельскохозяйственное предприятие должно выращивать определенную культуру, например, картофель, на отведенном для этой цели участке. Урожайность картофеля зависит от количества внесенных удобрений и от состояния погоды⁸.

Рассматриваются два возможных характера погоды:

1. лето сухое;

2. лето влажное.

Возможные варианты внесения удобрений:

1. количество удобрений на 1 га соответствует определенной норме;

2. количество удобрений на 1 га на 30% больше нормы;

3. количество удобрений на 1 га на 40% больше нормы.

Уточнение условия:

Сельскохозяйственное предприятие – игрок А, природа – игрок В. У игрока А имеются три стратегии, соответствующие вариантам внесения удобрений. У игрока В – две стратегии в соответствии с характером погоды. Будем считать, что цена реализации 1 т картофеля не зависит от урожая и является постоянной. Тогда прибыль предприятия зависит от урожайности выращенного картофеля и затрат на его получение и реализацию.

Предприятию необходимо определить оптимальное количество внесения удобрений на 1 га для получения наибольшей прибыли при максимально благоприятном лете. С этой целью сельскохозяйственное предприятие произвело расчет прибыли в зависимости от возможных стратегий своих и природы. Получилась следующая матрица прибылей, млн руб.:

.

Решение:

Будем считать эти прибыли как матрицу выигрышей игрока А, и найдем решение игры порядка .

1. В данной игре нет заведомо невыгодных стратегий (доминирующих, дублирующих).

2. Определим наличие (отсутствие) седловой точки:

Игроки			Минимумы строк
	4	2	2
	2	4	2
	3	2,5	2,5
Максимумы столбцов	4	4

Так как , то в игре нет седловой точки. Значит, ищем решение в смешанных стратегиях: и .

3. Строим график в системе координат qOH в соответствии с описанной выше последовательностью этапов (рис.1).

Рис.1. Графическое решение примера

Интерпретация результатов решения

Ломаная ABC – верхняя огибающая, соответствующая верхней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока В. Минимальное значение достигается в точке В, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям и игрока А. Абсцисса точки В соответствует вероятности применения игроком В чистой стратегии , – вероятность применения игроком В чистой стратегии . Ордината точки В – цена игры .

Для игрока А , т.к. точка В является пересечением пары чистых стратегий и . На графике и равны долям, на которые проекция точки В на ось ординат ОН делит отрезок .

4. Определим теперь значения вероятностей и цены игры .

Выделим в матрице Т активные стратегии и игрока А. Получим матрицу в виде:

Игроки			Активные стратегии А
	4	2
	2	4
Активные стратегии В

Составляем системы:

игрок А:

игрок В: ,

из которых нетрудно определить

.

Выводы:

Если норма внесения удобрений равна 1 в соответствии с первой стратегией предприятия, тогда, применяя вторую стратегию, предприятие должно внести 1,3 нормы удобрений на 1 га. Поскольку каждая из этих стратегий применяется с вероятностью 0,5, то оптимальный объем внесения удобрений составит среднее значение норм при этих стратегиях:

норы на 1 га.

Тогда предприятие получит гарантированную прибыль млн руб.