1.1. Пространство элементарных исходов
Теория вероятностей изучает случайные явления не непосредственно, а с помощью идеализированных математических моделей случайных опытов.
Всякий случайный опыт (испытание, эксперимент) состоит в осуществлении некоторого комплекса условий и наблюдении результата. Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайный исход (случайное событие). Случайное событие в результате опыта может произойти, а может и не произойти.
Каждому
опыту ставится в соответствие пространство
элементарных исходов
.
Это
множество простейших (т.е. неразложимых
в рамках данного опыта на более простые)
взаимоисключающих исходов
,
таких, что результатом эксперимента
всегда является один и только один исход
.
Пример 1.1.1.
Опыт состоит в бросании одной правильной шестигранной игральной кости и наблюдении числа выпавших очков.
Элементарные
исходы:
{выпало
очков},
.
Неэлементарные
исходы
(события):
={выпало
чётное число очков},
={выпало
число очков, большее, чем 2} и т.п. Исход
не является элементарным, т.к. он
разлагается на более простые исходы
.
Пространство
элементарных исходов
данного случайного опыта
состоит из шести элементов.
Пример 1.1.2.
Опыт состоит в бросании двух монет и наблюдении выпавших сторон («герб», «решка») этих монет.
В зависимости от условияй опыта возможны варианты:
а) монеты неразличимы;
б) монеты различимы, например пронумерованы.
Элементарные исходы:
а)
{выпали
два герба},
{выпали:
один герб и одна решка},
{выпали
две решки};
б)
{гг}
(выпали два герба),
{гр}
(на первой монете – герб, на второй –
решка),
{рг}
(на первой монете – решка, на второй –
герб),
{рр}(
выпали две решки).
Неэлементарный
исход:
{выпал
хотя бы один герб},
Пространство элементарных исходов: в случае а) состоит из трёх элементов, в случае б) – из четырёх элементов.
Пример 1.1.3.
Опыт состоит в регистрации числа элементарных часиц, появившихся в процессе радиактивного распада на определённом промежутке времени.
Элементарные
исходы
– целые неотрицательные числа:
.
Неэлементарный исход: {появилось более 100 частиц}.
Пространство
элементарных исходов:
- счётное множество всех целых
неотрицательных чисел.
Пример 1.1.4.
Опыт состоит в том, что производится один выстрел по плоской мишени и наблюдаеся точка попадания пули. Размером пули можно пренебречь.
Элементарные
исходы
– точки мишени. Если ввести декартову
систему координат, то в качестве
элементарных исходов можно рассматривать
пары чисел
- координаты этих точек. Естественна
идеализация: считаем мишень бесконечной.
Тогда
.
Неэлементарный исход: {расстояние от точки попадания до центра мишени не превосходит 10 см}.
Пространство элементарных исходов:
.
Упражнения
Для следующих случайных опытов:
а) указать элементарные исходы;
б) привести пример случайного события, не являющегося элементарным исходом;
в) описать
пространство элементарных исходов
и в
случае, если оно конечно, указать число
его элементов
.
1.1.1. Подбрасывают две игральные кости и фиксируют выпавшие очки. По условиям опыта кости неразличимы.
1.1.2. То же, что и в 1.2.1, но кости различимы.
1.1.3. Четыре разные буквы написаны на четырёх карточках. Случайным образом последовательно выбирают 3 карточки и наблюдают выложенное из них «слово».
1.1.4. На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи – белую и чёрную и наблюдают полученную расстановку этих фигур.
1.1.5. То же, что и в 1.1.4., но обе ладьи белые и по условиям опыта нет возможности их различить.
1.1.6. Три студента случайным образом становятся в очередь за учебниками.
Ответы к упражнениям
1.1.1. а)
{сумма
очков больше 3}; в)
.
1.1.2. в)
.
1.1.3. в)
.
1.1.4. в)
.
1.1.5. в)
.
1.1.6. в)
.