1.5. Аксиоматическое определение вероятности

Напомним, что классическое определение вероятности относится к пространствам элементарных исходов , состоящим из конечного числа равновозможных элементов. Геометрическое определение – к пространствам , представляющим собой области, имеющие в зависимости от длину, площадь, объём или обобщённый объём, т.е. являющиеся измеримыми. В качестве событий в геометрической схеме рассматриваются также измеримые подмножества из .

Аксиоматическое определение, сохраняя основные свойства вероятности, подмеченные в рамках классической и геометрической схем, позволяет ввести это понятие для пространств элементарных исходов произвольной природы.

Предположим, что вероятности событий, соответствующих данному случайному опыту определены. Это означает, что каждому случайному событию поставлено в соответствие число - его вероятность, т.е. на множестве событий, соответствующих данному опыту, задана функция . Для того, чтобы наряду с событиями вероятность была определена и для событий , , , , , а также для событий и , все эти события должны принадлежать множеству , т.е. множество должно быть алгеброй событий.

Если пространство элементарных исходов – конечно, то алгеброй событий будет множество всех его подмножеств, включая пустое множество.

Пример 1.5.1.

На четырёх карточках написано по одному из чисел 1, 2, 3 и 4. Опыт состоит в случайном выборе одной из этих карточек и наблюдении написанного на ней числа.

Пространство элементарных исходов в этом опыте , где {на выбранной карточке написано число }, .

Алгебра событий состоит из всех подмножеств пространства :

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.

Итак, пусть - алгебра событий, образованная на пространстве элементарных исходов . Предположим, что каждому элементу (событию) поставлено в соответствие число , т.е. на определена числовая функция . Эту функцию называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. для любых несовместных событий и (аксиома сложения).

Тройка , т.е. пространство элементарных событий с образованной на нём алгеброй событий и введённой на вероятностью , называется вероятностным пространством.

Замечания

1. Аксиомы 1 – 3 постулируют основные свойства классической и геометрической вероятности, определяющие и все другие её свойства. Поэтому можно говорить об общих свойствах вероятности, независимо от того, как она определена.

2. Для дальнейшего развития теории вероятностей аксиому 3 формулируют в обобщённом виде:

для любых попарно несовместных событий (расширенная аксиома сложения).

Кроме того, обобщается и понятие алгебры событий, но на этом мы не останавливаемся.

3. Если пространство элементарных исходов конечно или счётно, то вероятность можно ввести следующим образом. Припишем каждому элементарному исходу вероятность так, чтобы . Тогда для любого события в силу расширенной аксиомы сложения вероятность будет равна .

Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать произвольно, лишь бы выполнялись условия и . Поэтому вероятность вводится неоднозначно, т.е. аксиомы вероятности определяют не единственным образом. Это позволяет рассматривать различные варианты случайных опытов с совпадающими пространствами элементарных исходов.

Пример 1.5.2.

Введём вероятность для двух вариантов опыта со случайным выбором одного из чисел: 1, 2, 3 и 4, см. пример 1.5.1.

а) Опыт проводится в точности, как описано в примере 1.5.1.

б) Вместо четырёх, используются 6 карточек. На двух из них написано число 1, ещё на двух – число 3, а числа 2 и 4 записаны на одной карточке каждое.

◄Пространство элементарных исходов опыта в обоих его вариантах одно и то же: , {выбрано число }, . Все события, соответствующие этому пространству (множество всех подмножеств , алгебра событий ) перечислены в примере 1.5.1. Определим их вероятности для вариантов а) и б) случайного опыта.

а) В этом случае элементарные исходы равновозможны: , , поэтому вероятность вводится следующим образом:

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.

б) В данном случае вероятности элементарных исходов равны: , , , , поэтому

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.►

Из трёх главных свойств вероятности (аксиомы 1 – 3) вытекают другие важные свойства:

1. Вероятность противоположного события

(1.5.1)

2. Вероятность невозможного события

(1.5.2)

3. Если , то

(1.5.3)

4. Вероятность заключена между 0 и 1:

(1.5.4)

5. Вероятность суммы событий:

(1.5.5)

Пример 1.5.3.

Докажем свойство (2.3.3).

◄Пусть . Тогда (см. упражнение 1.2.11) . Поскольку события и несовместны, из аксиомы сложения получаем: . Поскольку (согласно аксиоме неотрицательности) , выполняется неравенство (1.5.3).►

Пример 2.3.4.

Докажем формулу (1.5.5).

◄Справедливы соотношения: (см. пример 1.2.4) и (упражнение 1.2.12). Слагаемые в правой части каждого из них - несовместные события. Поэтому из аксиомы сложения получаем: , . Подставив в первое из этих равенств вероятность , выраженную из второго равенства, получим (1.5.5).►

Упражнения

1.5.1. Два набора карточек, использовавшиеся в опытах по случайному выбору числа (пример 2.3.2, варианты опыта а) и б) соответственно) объединили в один набор (10 карточек) для проведения аналогичного опыта.

Введите вероятность для данного варианта случайного опыта.

1.5.2. Докажите равенство (1.5.1).

1.5.3. Докажите равенство (1.5.2)

1.5.4. Обоснуйте неравенства (1.5.4).

1.5.5. Обобщите формулу (1.5.5) на случай трёх событий.

Ответы к упражнениям

1.5.1. , , , ; , , , , ; , , , , , ; , , , ; .

1.5.5. .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте аксиомы вероятности.

2. Как можно ввести вероятность в случае конечного или счётного пространства элементарных исходов?

3. Перечислите свойства вероятности, вытекающие из аксиом вероятности.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [ ], №№ 18.57 - 18.59, 18.61, 18.62.

2. Ознакомьтесь с теоретическим материалом: [2], с. 5 – 14/