Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

пар1.0-1.5.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

1.3. Классическое определение вероятности

Вероятность случайного события – это мера возможности его появления в данном опыте. Если принять и , то получим: , хотя возможен и другой масштаб измерения вероятности.

В современной математике вероятность вводится аксиоматически. Но прежде, чем перейти к аксиоматическому определению, рассмотрим другие определения, которые возникли раньше.

Предположим, что пространство элементарных исходов состоит из конечного числа исходов и все они равновозможны.

События в случайном опыте называют равновозможными, если по условиям этого опыта ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, равновозможными являются элементарные исходы опытов, связанных с подбрасыванием монеты, игральной кости, с извлечением одной карты из колоды карт и т.д.

Опыт, удовлетворяющий условиям: а) пространство его элементарных исходов конечно; б) элементарные исходы равновозможны, называют классической схемой.

Пусть - общее число элементарных исходов в пространстве , а - число элементарных исходов, образующих событие . Ещё называют числом исходов, благоприятствующих событию . Тогда вероятностью события . называют отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов:

. (1.3.1)

Это определение принято называть классическим определением вероятности.

Пример 1.3.1.

Из 30 вопросов зачёта студент изучил 25. С какой вероятностью при случайном выборе вопроса этот студент получит «хороший» вопрос?

◄В данном случае , , поэтому .►

Из определения легко выводятся свойства классической вероятности:

1. для любого события .

2. .

3. для любых несовместных событий ( ).

Оказывается, что эти свойства классической вероятности являются основными, из них следуют другие важные свойства, например,

, при

и другие.

При использовании формулы (1.3.1) для подсчёта вероятностей важно следить за тем, чтобы все элементарные исходы опыта были равновозможными, иначе возможны ошибки.

Пример 1.3.2.

Каждая из цифр 1, 2, 3 и 4 записана на отдельной карточке. Опыт состоит в случайном последовательном выборе двух из этих карточек и фиксации написанных на них цифр. При этом карточка, извлечённая из стопки первой, возвращается в стопку перед извлечением второй карточки. По условиям опыта:

а) порядок, в котором были извлечены карточки, фиксируется, т.е. случайными результатами опыта являются упорядоченные пары цифр , ;

б) Порядок извлечения карточек не фиксируется, так что результатами опыта являются неупорядоченные пары цифр , .

Рассмотрим пространства элементарных исходов этого опыта.

◄а) {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}, . Элементарные исходы являются равновозможными.

б) {(1 1), (1 2), (1 3), (1 4), (2 2), (2 3), (2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, . В данном случае элементарные исходы не равновозможны. Например, исход (2 1) более вероятен, чем (1 1). Это можно объяснить тем, что первый из этих исходов может появиться двумя способами: (1,2) или (2,1), а второй - только одним способом.►

Пример 1.3.3.

В опыт, описанном в примере 1.3.2, внесено изменение: карточка, извлечённая первой, не возвращается в стопку перед вторым извлечением. Рассмотрим пространства , соответствующие этому опыту.

◄а) (порядок цифр учитывается). {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}, . Перечисленные элементарные исходы являются равновозможными.

б) (порядок цифр не учитывается). {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)}, . Эти элементарные исходы также являются равновозможными.►

Замечание.

В примере 1.3.2 рассмотрен частный случай опытов, состоящих в последовательном случайном выборе элементов из заданного множества (в данном случае – цифр) с возвращением. В таких опытах элементарные исходы оказываются равновозможными только тогда, когда учитывается порядок выбора элементов (случай а) из примера 1.3.2). Поэтому применять формулу классической вероятности (1.3.1) в таких случаях (выбор с возвращением) можно только при учёте порядка, в котором выбираются элементы, иначе мы получим неверный результат.

Пример 1.3.4.

Найти вероятность события {сумма цифр на выбранных карточках не меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.2.

◄Формула классической вероятности применима только при учёте порядка цифр в паре (случай а)). Тогда , {(2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}, т.е. , поэтому по формуле (2.1.1) находим: .

Если не учитывать порядок цифр (случай б) примера 2.1.2), то получим ошибочный результат: , {(2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, , ►.

Замечание.

В своей книжке «Об открытиях, совершённых при игре в кости» Галлилей описал следующий парадокс. При бросании двух правильных игральных костей сумму очков, равную как 9, так и 10, можно получить двумя способами: 9=3+6=4+5; 10=4+6=5+5. Почему же тогда сумма 9 получается чаще, чем 10?

Объяснение парадокса состоит в том, что необходимо учитывать порядок выпадения очков на костях. Тогда 9=3+6=6+3=4+5=5+4; 10=4+6=6+4=5+5, т.е. сумму 9 можно получить четырьмя, а сумму 10 – только тремя способами, поэтому шансы у суммы 9 предпочтительнее.

Следует отметить, что при рассмотрении подобных вопросов ошибались даже такие великие математики, как Лейбниц и Даламбер. Так, однажды у Даламбера спросили, с какой вероятностью монета, брошенная дважды, хотя бы один раз выпадет гербом. Ответ учёного был , т.к. он считал, что есть 3 возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка) и среди них 2 благоприятствующих. Даламбер пренебрегал тем, что эти три возможных исхода не равновозможны. Правильным ответом является , поскольку из четырёх равновозможных исходов (герб-герб, герб-решка, решка-герб, решка-решка) три благоприятствуют указанному событию. Точка зрения Даламбера была даже опубликована во Французской энциклопедии в 1754 г. в статье «Герб и решётка» (“Croix on pile”).

Пример 1.3.5.

Найти вероятность события {сумма цифр на выбранных карточках не меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.3 (выбор без возвращения).

◄Поскольку обоим вариантам опыта (с учётом и без учёта порядка) соответствуют пространства равновозможных элементарных исходов (см. пример 1.3.3), то можно ожидать, что применение формулы (1.3.1) в случаях а) и б) даст одинаковый результат.

а) ; {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т.е. и .

б) ; {(2 4), (3 4)}; ; .

Таким образом, как и ожидалось, вероятность оказалась одной и той же как при учёте порядка элементов (цифр), так и без его учёта.►

Замечание.

Итак, в опыте, описанном в примере 1.3.2 (выбор с возвращением), элементарные исходы получаются равновозможными только если учитывается порядок элементов, а в опыте из примера 1.3.3 (выбор без возвращения) элементарные исходы равновозможны независимо от того, учитывается ли порядок элементов.

Этот вывод сохраняет силу и в большинстве других подобных ситуаций, возникающих при использовании классического подхода к вероятности. А именно: в опытах по случайному выбору с возвращением определённого числа элементов из заданного конечного множества следует учитывать порядок элементов. Если же случайный выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно в таких случаях порядок не учитывают. Однако если описание случайного события включает в себя учёт порядка элементов, то этот порядок следует учитывать.

Пример 1.3.6.

Найти вероятность события {число, составленное из цифр, записанных на выбранных карточках в порядке их извлечения, превосходит 40} в опыте, описанном в примере 1.3.3.

◄Опыт из примера 1.3.3 состоит в выборе двух цифр из четырёх без возвращения. Поэтому, как представляется с первого взгляда, порядок выбранных цифр можно не учитывать. Однако в данном случае событие таково, что его появление зависит, вообще говоря, от того, в каком порядке выбраны одни и те же цифры. Например, если (4,1), то происходит, а если (1,4), то нет. Поэтому необходимо учитывать порядок (случай а) примера 1.3.3). Тогда ; {(4,1), (4,2), (4,3)}, ; ►.

Замечание

Предположим, что при определении общего числа равновозможных исходов по той или иной причине порядок элементов учитывается. Тогда, очевидно, при подсчёте числа благоприятствующих исходов порядок также следует учитывать. И наоборот, если порядок не учитывается, то это должно соблюдаться при нахождении и , и . При решении задач по классической схеме часто допускают ошибку, состоящую в том, что при подсчёте чисел и используются разные подходы.

Пример 1.3.7.

Для опыта, описанного в примере 1.3.3 (выбор двух цифр из четырёх без возвращения) найти вероятность событий {сумма цифр не меньше 6} и {число, составленное из цифр в порядке их выбора, превосходит 40}.

◄Предположим, что мы решили сначала найти . Тогда по соображениям, изложенным в решении примера 1.3.6, порядок цифр следует учитывать, поэтому , , (см. пример 1.3.6).

Далее, находя , мы можем ошибочно рассуждать так. Поскольку событие связано с тем же опытом, общее число элементарных исходов остаётся неизменным: . А при нахождении будем считать, что порядок цифр не важен, т.к. опыт состоит в выборе цифр без возвращения и появление события не зависит от порядка цифр. Тогда {(2 4), (3 4)}, , .

Правильное решение: при нахождении общего числа исходов мы учитывали порядок цифр (не важно, по какой причине). Поэтому порядок цифр необходимо учитывать и при подсчёте числа благоприятствующих исходов: {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т.е. . Окончательно, , см также пример 1.3.5.►

Упражнения

1.3.1. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

1.3.2. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. Затем из урны выбирают второй шар. Найти вероятность того, что и этот шар - белый.

1.3.3. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают один шар и, не глядя, откладывают его в сторону. Затем из урны выбирают второй шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что и первый шар, извлечённый из урны, - белый.

1.3.4. Из урны, в которой лежат белых и чёрных шаров, наудачу выбирают без возвращения один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что этот, оставшийся в урне шар, - белый.

1.3.5. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятности следующих событий: {появление чётного числа очков}, {появление числа очков, большего 5}, {появление не более 5 очков}.

1.3.6. Игральную кость подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет одно и то же число очков.

1.3.7. Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: {сумма выпавших очков равна 8}, {произведение выпавших очков равно 8}, {сумма выпавших очков больше, чем их произведение}.

1.3.8. Бросают две монеты. Сравнить вероятности событий {монеты легли одинаковыми сторонами} и {монеты легли разными сторонами}.

Ответы к упражнениям

1.3.1. .

1.3.2. .

1.3.3.

1.3.4.

1.3.5. ; ; .

1.3.6. .

1.3.7. , , .

1.3.8. .

При подсчёте количеств элементарных исходов и часто используют следующее утверждение (его легко доказать методом математической индукции).

Пусть даны групп элементов, причём -я группа содержит элементов. Опыт состоит в выборе элементов – по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число возможных способов выбора определяется основной формулой комбинаторики

. (1.3.2)

Пример 1.3.8.

Сколько трёхзначных чисел делятся без остатка на 5?

◄Запись трёхзначного числа состоит из трёх цифр. Первая (слева) цифра может быть любой, кроме 0, т.к. иначе число не будет трёхзначным, т.е. возможны вариантов первой цифры. Вторая цифра может быть любой, т.е. имеем вариантов второй цифры. Третья цифра числа, кратного 5, может быть выбрана из вариантов (0 или 5). Таким образом, существует чисел, указанных в условии.►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.72 - 18.77.

При вычислении вероятностей, связанных с классической схемой, часто используют формулы комбинаторики. Рассмотрим опыт с выбором элементов из множества, содержащего элементов. Результат такого опыта называют выборкой из элементов по или просто из по . Возможны следующие варианты.

а) Каждый выбранный элемент после выбора не участвует в дальнейшем выборе. Тогда говорят о выборке без повторений, т.к. в такой выборке все элементы различны (не повторяются).

б) Выбранный элемент фиксируется и возвращается в группу из элементов, т.е. участвует в дальнейшем выборе. Таким образом, один и тот же элемент может попасть в выборку и более одного раза. В этом случае получается выборка с повторениями.

Далее, порядок выбора элементов можно не учитывать (тогда выборка называется сочетанием) или учитывать (тогда получаем размещение).

Таким образом, получаются четыре основные разновидности выборки:

1. Сочетание из по без повторений или просто сочетание из по .

2. Размещение из по без повторений или просто размещение из по .

3. Сочетание из по с повторениями.

4. Размещение из по с повторениями.

Часто рассматривают частный случай размещения из по без повторений, когда . Такая выборка называется перестановкой из элементов.

Опыт с выбором элементов из множества, состоящего из элементов легко представить себе следующим образом. Пусть в урне лежат различимых (например, пронумерованных) шаров. Извлекая из урны шаров, мы получаем выборку из по .

При этом если извлекаемые шары в урну не возвращаются, а откладываются в сторону без учёта прядка их поступления, то получается сочетание (без повторений). Если же извлекаемые шары выкладывают в ряд в порядке извлечения, то образуется размещение (без повторений). Далее, после каждого извлечения можно записывать, какой шар был извлечён (шары различимы!) и возвращать извлечённый шар в урну. Тогда сформируется либо сочетание с повторениями (если в записях не фиксируется порядок поступления шаров из урны), либо размещение с повторениями (если записи содержат информацию не только о том, какие шары выбраны, но и в каком порядке).

Различные перестановки из элементов отличаются друг от друга тем, что одни и те же элементов располагаются в выборках в разном порядке.

Приведём основные формулы комбинаторики.

1. Число сочетаний из по

. (1.3.3)

2. Число размещений из по

. (1.3.4)

При получаем число перестановок из

. (1.3.5)

3. Число сочетаний из по с повторениями

. (1.3.6)

4. Число размещений из по с повторениями

. (1.3.7)

Перечислим основные правила использования этих формул с учётом выводов, сделанных ранее (см. примеры 1.3.2 – 1.3.7 и замечания к ним).

1. При выборе нужной формулы для нахождения общего числа исходов и числа благоприятствующих исходов в большинстве случаев достаточно ответить на два вопроса по поводу условий опыта. Первый из них: выбор элементов проводится с возвращением или без него (т.е. получается выборка с повторениями или нет), а второй – учитывается порядок элементов в выборке или нет (выборка является размещением или сочетанием).

2. Если выбор проводится с возвращением, то при отсутствии указаний на особые условия проведения опыта порядок элементов в выборке следует учитывать, иначе элементарные исходы не будут равновозможными. Если же выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно он учитывается только в случаях, когда появление рассматриваемого события зависит от порядка элементов.

3. Если при подсчёте общего числа исходов порядок элементов учитывается (не учитывается), то его следует учитывать (не учитывать) и при подсчёте числа благоприятствующих событию исходов .

Пример 1.3.9.

Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20 студентов) с помощью жеребьёвки выбираются три человека. С какой вероятностью в представительство попадут только студенты из первой половины списка группы (событие )?

◄В данном случае происходит выбор из 20 по 3 без возвращения, т.е. получаем выборку без повторений. Поэтому порядок можно не учитывать. Тогда выборкой будет сочетание и .

Число благоприятствующих исходов находим таким же образом, но учитываем, что этим исходам соответствуют выборки из 10 (первая половина списка) по 3: .

Окончательно, .

Если бы мы учитывали порядок и считали и , то получили бы: , т.е. тот же ответ.►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.78 - 18.80, 18.84.

Пример 1.3.10.

Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20 студентов) с помощью жеребьёвки выбирают трёх человек: руководителя, его заместителя и секретаря представительства.

С какой вероятностью в председателем будет студент из первой половины списка, а остальные представители – из второй половины списка (событие )?

◄В этом случае, как и в примере 1.3.9, происходит выбор из 20 по 3 без возвращения, т.е. получаем выборку без повторений. Однако теперь порядок необходимо учитывать, т.к. событие зависит от порядка элементов. Например, можно считать, что первый элемент выборки - председатель, второй - заместитель и третий - секретарь. Поэтому выборкой в данном случае будет размещение и .

Найдём число благоприятствующих исходов . Для этих исходов председатель выбирается из десяти студентов (первая половина списка), т.е. существует вариантов выбора председателя. Остальные представители (2 человека в определённом порядке) выбираются также из десяти (вторая половина списка), число вариантов этого выбора . Поэтому .

Окончательно, .►

Пример 1.3.11.

Студенты из группы (20 человек) сдают экзамен в случайной очерёдности. С какой вероятностью первый по списку группы студент будет сдавать экзамен первым, а двадцатый по списку студент – последним (событие )?

◄Элементарные исходы – это перестановки из 20 элементов, их число .

Благоприятствующие событию исходы – это выборки из тех же 20 элементов, различающиеся их порядком и содержащие два определённых элемента (первый и последний по списку студенты) на первом и последнем местах соответственно. Поэтому число благоприятствующих исходов равно числу перестановок из 18 остальных элементов (студентов занимающих в очереди места со 2-го по 19-е): .

Окончательно, .

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.87 - 18.93, 18.96, 18.97.

Пример 1.3.12.

В магазине работают 5 отделов, каждый отдел торгует товарами определённого назначения. Десять покупателей вошли в магазин, каждый обратился в нужный ему отдел. Считая любое распределение общего числа покупателей по отделам равновероятным с остальными распределениями, найти вероятности событий: {все покупатели обратились в один и тот же отдел} {в каждый отдел обратилось по 2 покупателя}.

◄В данном случае опыт состоит в десятикратном случайном выборе с возвращением из 5 элементов. Можно рассмотреть такой эквивалентный опыт. Пусть в урне лежат 5 шаров с номерами отделов магазина, и покупатели последовательно наудачу достают по одному шару для определения отделов, в которые они обратятся. Поскольку несколько покупателей могут обратиться в один и тот же отдел, шар после каждого извлечения возвращается в урну.

Как уже отмечалось, если нет указаний на особые обстоятельства опыта, при выборе с возвращением необходимо учитывать порядок элементов. Поэтому на первый взгляд кажется, что в данном случае .

Однако в условии сказано, что равновозможными являются распределения по отделам не покупателей, а их количеств. Поэтому равновозможными являются выборки с повторениями, в которых порядок элементов не учитывается. Другими словами, важно не то, в каких по счёту извлечениях появился шар с определённым номером, а то, сколько раз он появился. Таким образом, правильный результат .

Далее , т.к. число вариантов для обращения всех покупателей в один отдел совпадает с числом отделов, откуда а , поэтому .►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.98, 18.99.

Пример 1.3.13.

Найти вероятность того, что случайно выбранный четырёхзначный номер автомобиля не содержит цифр, отличных от «3» и «7».

◄Опыт можно представить, как случайный выбор четырёх элементов (цифр) из 10. Цифры в номере могут повторяться, значит это выбор с возвращением. Результат опыта (случайный номер) - это выборка с повторениями, порядок элементов учитывается. Поэтому .

Благоприятствующие исходы получаются в результате выбора с возвращением четырёх элементов из двух (цифры «3» и «7»), значит .

Окончательно, .►

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [1], №№ 18.100 - 18.105.

Пример 1.3.14.

Случайный опыт состоит в разбиении множества из из элементов на занумерованных подмножеств , , содержащих по элементов . Найдём число элементарных исходов этого опыта.

◄Представим опыт как последовательное формирование подмножеств , . Подмножество можно образовать способами, подмножество можно сформировать из оставшихся элементов способами, подмножество можно создать способами и т.д. Поэтому, согласно (1.3.2) имеем: