1.9 Контрольные вопросы

1. Что называют электрической цепью и электрической схемой?

2. Что называют узлом, ветвью и контуром электрической цепи?

3. Что понимают под направлением электрического тока?

4. Что такое падение напряжения на участке электрической цепи?

5. Как формулируют и записывают закон Ома?

6. Что называют последовательным соединением участков цепи?

7. Что называют параллельным соединением участков цепи?

8. Чему равно эквивалентное сопротивление электрической цепи с последо­вательным, параллельным и смешанным соединением участков цепи?

9. Как формулируют и записывают первый закон Кирхгофа?

10. Как формулируют и записывают второй закон Кирхгофа? Правило знаков.

11. Закон Джоуля - Ленца.

12. В чем сущность метода эквивалентных преобразований?

13. Порядок расчета токов в цепях со смешанным соединением участков

14. Как определить напряжение на участке с параллельно соединенными ветвями?

15. Как определить мощность цепи постоянного тока?

16. Как составить баланс мощностей?

17. Как проверить правильность расчета токов?

Тема 2 синусоидальный ток. Изображение синусоидальных величин векторами и комплексными числами. Расчет цепей синусоидального тока

Цель: Усвоить основные понятия и величины, характеризующие переменный синусоидальный ток. Овладеть методами представления его векторами и комплексными числами, комплексным методом расчёта цепей синусоидального тока при последовательном соединении элементов R, L, C. Освоить методику расчета цепей синусоидального тока со смешанным соединением приемников.

2.1 Задания по самоподготовке

1. Проработать по учебникам и учебным пособиям тему «Электрические цепи синусоидального тока» [1] §.3.1, 3.2, 3.4, 3.5, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12, 3.14, 3.16, 3.18 и [4] § 3.8, 3.9, 3.10.

2. Повторить тему “Комплексные числа. Действия над комплексными числами” (см. при­ложение А), методику расчета цепей постоянного тока со смешанным соединением резисторов.

3. Разобрать примеры из раздела 2.3.

4.Ответить на контрольные вопросы.

2.2 Общие сведения

Переменным называют ток, изменяющийся во времени. Переменный ток, который описывается синусоидальной функцией, называется синусоидальным током. Важно усвоить основ­ные понятия и величины, характеризующие синусоидальный ток: период, частота, амплитуда, угловая (циклическая) частота, фаза, начальная фаза.

Периодом называется время одного полного колебания. Период обозначается латинской буквой Т и измеряется в секундах (с). Величина, обратная пе­риоду Т, т.е. число периодов в единицу времени, называется частотой, обо­значается f и измеряется в герцах (Гц):

На рис. 2.1 изображен график синусоидального тока, построенный согласно математическому выражению его мгновенного значения, которое имеет вид ,

где i  –  мгновенное значение тока;

I_m – максимальное значение или амплитуда тока;

• –  угловая (циклическая) частота, w = 2pf, измеряется в радианах в секунду (рад/с);

–  начальная фаза, определяемая смещением начала синусоиды относительно начала координат (началом синусоиды считается точка пере­хода отрицательной полуволны в положительную).

Рис. 2.1

Следует обратить внимание, что угол y положителен в том случае, если начало синусоиды смещено влево от начала координат, и, наоборот, угол y отрицателен, если начало синусоиды смещено вправо от начала ко­ординат.

Величина (wt + y), определяющая стадию изменения синусоидаль­ной функции, называется фазовым углом или фазой.

При расчете цепей синусоидального тока наряду с амплитудным значением тока широко используется понятие действующего значения тока. Действующие значения синусоидального тока, напряжения, ЭДС свя­заны с их амплитудными значениями соотношениями:

Для облегчения расчетов и анализа цепей синусоидального тока ши­роко применяется метод представления синусоидальных функций век­торами и комплексными числами. Сущность метода заключается в том, что синусоидальной вели­чине ставится в соответствие вектор на комплексной плоскости. Длина вектора (модуль) равна амплитуде синусоидальной величины. Вектор строится выходящим из начала координат под углом y к действительной положительной полуоси комплексной плоскости. Если y > 0, вектор повернут против часовой стрелки, если y < 0, то вектор повернут по часовой стрелке.

В свою очередь данный вектор может быть аналитически представ­лен комплексным числом, которое получило название комплексной амплитуды.

Комплексную амплитуду, как и любое комплексное число, можно записать в показательной, тригонометрической и алгебраической формах.

Удобнее всего, при переходе от синусоидальной функции к записи её комплексной амплитуды, пользоваться показательной формой. При этом модуль комплексного числа берётся равным амплитуде синусоидальной величины, а аргумент - углу y. Если комплексную амплитуду разделить на , то получим комплексное действующее значение синусоидальной величины:

Имея комплексную амплитуду или комплексное действующее значение, можно осуществить обратный переход и записать выражение мгновенного значения соответствующей синусоидальной величины.

Расчет цепей синусоидального тока, состоящей из последовательно соединённых элементов R, L и C (рис. 2.2), основывается на законе Ома в комплексной форме.

Закон Ома в комплексной форме:

(2.1)

где  –  комплексные действующие значения тока и напряжения;

Z – комплексное сопротивление.

Для цепи с последовательным соединением элементов R, L, C (рис. 2.2) комплексное сопротивление

. (2.2)

Рис. 2.2

Закон Ома принимает вид:

(2.3)

Введем обозначения:

 –  индуктивное сопротивление,

 –  емкостное сопротивление.

Закон Ома принимает вид: . (2.4)

Введем обозначение:

X_L – X_C = X – реактивное сопротивление.

Тогда комплексное сопротивление Z = R + jX.

Комплексное сопротивление может быть записано в показательной форме: Z = Z ,

где  –  модуль комплексного сопротивления, называется полным сопротивлением,

 –  аргумент (угол) комплексного сопротивления.

Из закона Ома в комплексной форме комплексное сопротивление

Z =  .

Записав комплексные величины в показательной форме, получим:

.

Следовательно .

Полное сопротивление Z, активное сопротивления R и реактивное сопротивление X соотносятся между собой как стороны прямоугольного треугольника, который получил название треугольника сопротивлений. В треугольнике Z – гипотенуза, R – прилегающий к углу катет. Из этого треугольника .

Для ветвей электрической цепи, каждая из которых содержит только сопротивление R, только индуктивность L и только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Z_R = R; Z_L = jωL; Z_C =  .

Если ветвь содержит не по одному элементу R, L и С, включенных последовательно, а несколько, то вначале определяют эквивалентное активное сопротивление

R_экв = R₁ + R₂ + … + R_n,

эквивалентное индуктивное сопротивление

X_Lэкв = X_L1 + X_L2 + … + X_Lk,

эквивалентное емкостное сопротивление

X_Cэкв = X_C1 + X_C2 + … + X_Cm,

а затем, в соответствии с рис.2.3 находят комплексное сопротивление

Z = R_экв + j(X_Lэкв – X_Cэкв);

Для наглядности расчет цепи часто сопровождают построением векторной диаграммы тока и напряжений. При построении диаграммы необходимо помнить, что на резистивном элементе напряжение и ток совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на угол 90º, на емкостном элементе напряжение отстает от тока на угол 90º. По этой причине 2-й закон Кирхгофа для схемы рис. 2.2 выполняется только для комплексных значений напряжений и не выполняется для действующих значений:

; .

Методика расчета цепей синусоидального тока со смешанным соединением аналогична методике расчета цепей постоянного тока со смешанным соединением. Отличие заключается лишь в том, что расчет проводится в комплексной форме.