Выполним задания 5, 6 и 7 для построенной линейной модели множественной регрессии.

Задание 5. Расчет коэффициентов эластичности. Вычислим средние коэффициенты эластичности:

Коэффициент эластичности при факторе X3 показывает, что при изменении смертности на 1% от среднего уровня прирост населения изменится в обратную сторону на 1,03% от своего среднего уровня при фиксированном среднем числе детей в семье.

Коэффициент элестичности при факторе X5 показывает, что при изменении среднего числа детей в семье на 1% от среднего уровня прирост населения изменится в ту же сторону на 1,44% от своего среднего уровня при фиксированном уровне смертности.

Сравнивая эти коэффициенты между собой, можно сделать вывод, что среднее число детей в семье более сильно влияет на прирост населения, чем уровень смертности.

Задание 6. Проверка предпосылок использования метода наименьших квадратов:

Для исследования свойств остатков в диалоговом окне Результаты множественной регрессии →вкладка Остатки/Предсказанные/Наблюдаемые значения → кнопка Анализ остатков

а. Случайность остатков;

Для проверки случайности остатков обычно используются специальные тесты (например, тест серий). Мы убедимся в случайности остатков, построив диаграмму рассеяния, и подтвердив отсутствие тенденции.

Для построения диаграммы в диалоговом окне Анализ остатков выбираем→ вкладку Диаграммы рассеяния и кнопку Предсказанные и остатки

В результате получим диаграмму, анализ которой показывает, что зависимость е=е(y(x)) не содержит тенденции и точки располагаются вблизи оси абсцисс. Следовательно, предпосылка о случайности остатков выполняется

б. Постоянство дисперсии остатков (гомоскедастичность) (тест Гольфельда-Квандта) ;

В окне Анализ остатков → перейдем на вкладку Дополнительно →выберем кнопку Остатки и предсказанные. В результате появится таблица, два столбца из которой – Предск. значение и Остатки скопируем в буфер обмена (рис. 18)

Перейдем в таблицу с исходными данными. Добавим новые переменные. Для этого выполним команду Переменные → Добавить. В появившемся диалоговом окне укажем, что надо добавить 12 переменных после переменной Y

Рис. 18.

Далее необходимо вставить из буфера данные и переименовать переменные (например, Yt – для рассчитанных по модели значений Y, и E – для остатков). Для переименования достаточно дважды щелкнуть на имени переменной и в открывшемся окне прописать имя переменной.

Для проведения теста Гольфельда-Квандта разобъем все данные на 3 части, исключив средние 18 наблюдений. В первой группе будет 17 наблюдений с номерами с 1 по 17, во второй группе также 17 наблюдений с номерами с 36 по 52.

Рассмотрим отдельно каждый из оставшихся в модели факторов.

Упорядочить объем нашей совокупности по фактору X3 (Сортировка по

возрастанию): щелкнуть на имени переменной и выбрать кнопку сортировки

Выйти из окна Анализ остатков – кнопка Отмена

Выйти из окна Определение модели – кнопка Отмена

В стартовом окне Множественная регрессия нажать кнопку Переменные

Выбрать в качестве факторов оставшиеся при проведении пошаговой регрессии переменные ( у нас X3 и X5)

В стартовом окне Множественная регрессия нажать кнопку Select cases Y (выбор наблюдений) (рис. 19)

Рис. 19.

В появившемся окне Условия выбора наблюдений Анализа выставить необходимые флажки и включить опции, указать номера наблюдений с 1 по 17 (рис. 20). ОК

Рис. 20

В стартовом окне Множественная регрессия нажать кнопку ОК

В окне Определение модели нажать кнопку ОК

В окне Результаты множественной регрессии перейти на вкладку Дополнительно и нажать кнопку Дисперсионный анализ

В результате получим таблицу Дисперсионного анализа

Для прведения теста Гольфельда-Квандта нам нужна Остаточная сумма квадратов. В этой таблице она находится в строке Остатки столбца Сумма квадратов:

SS₁=1,45247.

Вернемся в стартовое окно Множественная регрессия. С помощью кнопки Select cases Y

Выберем теперь наблюдения с номерами с 36 по 52. Даллее – как и для группы наблюдений с минимальными значениями X3.

Сумма квадратов остатков для выбранных наблюдений:

SS₂=1,90467

Вычислим F-статистику теста Гольфельда-Квындта:

Найдем критическое значение статистики:

Fкр=F(0,95; n₁-p-1; n₂-p-1)=F(0,95; 17-2-1; 17-2-1)=F(0,95;14;14)= 2,484

Так как Fв<Fкр, то гипотеза о гомоскедастичности остатков (независимость остатков от величины фактора X3) принимается.

Проведем такую же проверку по фактору X5

В результате получим:

УСЛОВИЯ ВЫБОРА НАБЛЮДЕНИЙ:

Включить наблюдение с номером: 1:17

УСЛОВИЯ ВЫБОРА НАБЛЮДЕНИЙ:

Включить наблюдение с номером: 36:52

Вычислим F-статистику теста Гольфельда-Квандта:

Так как Fв>Fкр, то гипотеза о гомоскедастичности остатков (независимость остатков от величины фактора X5) отклоняется.

Не выполняется одна из предпосылок МНК. Необходима коррекция модели – применение обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК). Для этого необходимо знать аналитический вид зависимости дисперсии остатков от переменной X5.

Воспользуемся тестом Глейзера. Причем, поиск зависимости |e| от переменной X5 не дал положительных орезультатов. Поэтому было решено использовать тест Уайта. В результате было получено уравнение регрессии |e| на факторы X3 и X5.

Нахождение коэффициентов модели осуществлялось в модуле Нелинейное оценивание (хотя модель получилась линейной)

|e|= 0,4066-0,0412*X3 + 0,07237*X5; R²= 0,249.

Предсказанные значения остатков (см. таблицу ниже) необходимо скопировать в таблицу с исходными данными.

Теоретически рассчитанные остатки (только-что вставленные) назовем S. Используя их, вычислим «веса» для всех переменных модели. Для этого введем переменную P:

P_i=1/S_i

Введем новые переменные PY=Y*P; PX3=X3*P; PX5=X5*P

Будем строить «взвешенное» уравнение регрессии:

(*)

без свободного члена – он заменяется весовым коэффициентом P_i=1/S_i.

Так как все члены уравнения (*) делятся для каждого наблюдения на одно и то же число, то уравнение можно записать в виде:

Y= 0,808-0,1451*X3+0,6194*X5. (**)

При сравнении модели из п.3 с данной, видим, что коэффициент детерминации у последней модели выше, дисперсии коэффициентов регрессии – ниже.

Предсказанные значения скопируем в исходную таблицу – назовем YY.

Для сравнения исходной модели, полученной МНК, и последней модели (ОМНК) вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации MAPE:

Для этого введем в исходную таблицу дополнительные столбцы:

Yтеор=YY/P – исключение «веса» из теоретически рассчитанной переменной PY

E1=y-Yтеор – ошибка последней модели

MAPE1=Abs(E1)/Yтеор - по последней (ОМНК) модели;

МAPE=Abs(E)/Yt – по модели, построенной в Задании 3.

После вычислений выделить последние два столбца (только числа), нажать ПРАВОЙ кнопкой мыши, в выпадающем меню выбрать