Приклад виконання розрахунків

На середньомісячну заробітну плату впливає низка факторів. Виділимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт плинності робочої сили. Визначимо, чи є між цими факторами тісний зв’язок. Вихідні дані наведено в табл. 1.

Таблиця 1

Номер цеху	Продуктивність праці, млн грн / люд.	Фондомісткість, грн /грн	Коефіцієнт плинності робочої сили, %
1	32	0,59	10,5
2	29	0,43	15,5
3	30	0,70	13,5
4	31	0,61	9,5
5	25	0,51	2,5
6	34	0,51	1,5
7	29	0,65	17,5
8	24	0,43	14,5
9	20	0,51	14,5
10	35	0,92	7,5

Розв’язування

Крок 1. Стандартизуємо змінні. Позначимо вектори незалежних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнта плинності робочої сили – через Х₁, Х₂, Х₃ відповідно. Елементи стандартизованих векторів розрахуємо за формулою

де n – кількість спостережень, n=10; k – кількість незалежних змінних, k=3; – середнє арифметичне вектора ; – дисперсія змінної (дод. 1).

Середні значення змінних становлять

=28,7; =0,586; =13,9.

Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:

=17,61; =0,0195;

=18,24.

У табл. 2 подано всі розрахунки, стосовні стандартизації незалежних змінних X₁, X₂, X₃ згідно з наведеним співвідношенням.

Таблиця 2

3,3	0,004	–3,4	10,89	0,000015	11,56	0,2487	0,0091	–0,2518
0,3	–0,156	1,6	0,09	0,024336	2,56	0,0226	–0,2531	0,1185
1,3	0,114	–0,4	1,69	0,012996	0,16	0,0979	0,2580	–0,0296
2,3	0,024	–4,4	5,29	0,000576	19,36	0,1733	0,0543	-0,3258
3,7	–0,076	9,6	13,09	0,005776	92,16	–0,2788	–0,1720	0,7108
5,3	–0,076	–1,4	23,09	0,005776	1,96	0,3994	–0,1720	–0,1037
0,3	0,064	3,5	10,09	0,004095	12,95	0,0226	0,1448	0,2666
–4,7	–0,156	0,6	22,09	0,024336	0,36	–0,3542	–0,3531	0,0444
–8,7	–0,076	0,6	75,69	0,005776	0,36	–0,6556	–0,1720	0,0444
4,3	0,334	–6,4	14,49	0,111556	40,95	0,3240	0,7559	–0,4739
			17,6	0,19524	182,4

Матриця стандартизованих змінних матиме вигляд

X^*= .

Крок 2. Знайдемо кореляційну матрицю r:

r = X ^{*T }X ^*,

де – матриця, транспонована до матриці .

Ця матриця симетрична і має розмір 3х3 для розглядуваної задачі:

r= .

Кожен елемент цієї матриці характеризує щільність зв’язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують щільність зв’язку кожної незалежної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці. Інші елементи матриці r є парними коефіцієнтами кореляції незалежних змінних, тобто , , .

Таким чином, можна зробити висновок, що між змінними X₁, X₂, X₃ існує зв’язок.

Kрок 3. Розрахуємо частинні коефіцієнти кореляції, використавши елементи матриці С:

;

С = .

Тоді

; ;

.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують щільність зв’язку між двома змінними за умови, що третя не впливає на цей зв’язок.

Як бачимо, зв’язок не значний. Порівнявши частинні коефіцієнти кореляції з парними, наведеними вище, можна помітити, що частинні коефіцієнти значно менші парних.

Крок 4. Перевіримо статистичну значущість коефіцієнтів кореляції. Для парних коефіцієнтів кореляції визначимо t-критерії:

=1,21; = –1,32;

= – 1,26.

Табличне значення t-критерію за n – m = 8 степенів вільності й за рівня значущості  = 0,05 дорівнює =2,31.

Оскільки всі числові значення t-критеріїв, знайдених для кожної пари змінних, менші за їх табличне значення, то приймаємо гіпотезу про статистичну незначущість коефіцієнтів кореляції. Робимо висновок, що всі пари незалежних змінних не є тісно пов’язані.

Для частинних коефіцієнтів кореляції визначимо t-критерії:

; ;

.

Табличне значення t-критерію за n – m = 7 степенів вільності і рівня значущості  = 0,05 дорівнює 1,89.

Усі числові значення t-критеріїв, знайдених для кожної пари змінних, менші за їх табличне значення. Звідси робимо висновок, що всі пари незалежних змінних не є тісно пов’язані, тобто приймаємо гіпотезу про статистичну незначущість коефіцієнтів кореляції.

Зауваження. Під час виконання розрахунків можна застосувати статистичні й матричні функції електронних таблиць (дод. 2).