3 Програма дисципліни і методичні вказівки по її вивченню
3.1 Системи числення. Застосування систем числення в обчислювальній техніці
Поняття системи числення. Позиційні і непозиційні с/ч. Переклад чисел з однієї с/ч в іншу. Арифметичні дії з числами в різних с/ч. Двійково-десяткова с/ч.
Системою числення (с/ч) називається спосіб представлення числа за допомогою цифр. Будь-яке число може бути представлене у виді послідовності цифр. Існують позиційні і не позиційні с/ч. У позиційній системі с/ч значення будь-якої цифри в записі числа визначається не тільки самою цифрою, але і позицією, що ця цифра займає в числі. У не позиційної с/ч значення цифри не залежить від її положення в числі (Номер: "римська" с/ч XXX).
В обчислювальній техніці застосовують позиційні с/ч (Номер "десяткова" 129,36). Назва "десяткова", "двійкова", пояснюється тим, що в підставі цієї с/ч лежить десять, два. У двійковій с/ч для запису числа застосовуються цифри: 0 і 1, у восьмеричній: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, у десятковій: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, у шістнадцятирічній: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Для кожної цифри числа підстава с/ч зводитися в ступінь, залежний від позиції цифри і збільшується на цю цифру. У якості початку рахунка позицій використовується кома, причому при рахунку позицій цифр від коми вліво ступінь с/ч приймає послідовно значення 0, 1, 2,…, а при рахунку вправо - значення: -1, -2, -3... Номер для числа 129,3610:
1*102+ 2*101+ 9*100+ 3*10-1+ 6*10-2
Для перекладу з десяткової с/ч у будь-яку іншу поділяють число на підставу цієї с/ч із запам'ятовуванням залишку. Потім виписують усі залишки починаючи з останнього, це і буде число в новій с/ч. Номер 89110 записати у восьмеричної с/ч:
8
91
8
8
88
111 8
3 104 13 8
7
8 1 89110
=15738
5
Арифметичні операції з числами в будь-який с/ч здійснюється по тим же правилам, що і з десятковими числами, за винятком того, що переноси в наступні розряди виробляється при досягненні підстави с/ч. Номер:
Перенос 1 111 11 11 1
1-ий додаток 101001102 16610 2465 A616
2
-ий
додаток 001011112 4710
578
2F16
Результат 11010101 213 325 D5
У цифрових пристроях використовується двійково-десяткова с/ч. У двоїчно-десяткової с/ч десяткові цифри від 0 до 9 представляють 4-розрядними двійковими комбінаціями від 0000 до 1001. Перетворення з десяткової в двійково-десяткову і назад виконуються шляхом прямої заміни десяткової цифри чотирма двійковими чи навпаки.
Для зручності виконання ручних операцій по підготовці і налагодженню програм для ЕОМ двійкові коди команд і даних звичайно заміняють на восьмеричні і шістнадцятирічні.
Для перекладу двійкового числа у восьмеричне, число розділяють з права наліво на групи з трьох двійкових цифр, потім кожну групу цифр виражають у виді восьмеричної. Номер: 10.100.0102-102=28, 1002=48, 0102=28 101000102=2428, аналогічно перетворять у шістнадцятирічну з тією лише різницею, що двійкове число поділяють на групи з чотирьох двійкових цифр. Перетворення числа з восьмеричної чи шістнадцятирічної с/ч у двійкову здійснюється перекладом кожної цифри вихідного числа в групу з трьох (восьмерична) чи чотирьох двійкових цифр.
Двійкове число можна перетворити в десяткове, подавши його у виді суми ступенів числа 2.
Основу с/ч часто вказують у виді індексу для числа, узятого в круглі дужки.
Контрольні питання і вправи
1. Що розуміється під поняттям с/ч?
2. Чим позиційна с/ч відрізняється від непозиційної?
3. Які знаки використовуються як цифри в двійкової, восьмеричної, шістнадцятирічної с/ч?
4. Як виконуються арифметичні операції в різних с/ч?
5. Як перевести з десяткової с/ч в іншу?
6. Як перевести з двійкової у восьми-, шістнадцятирічну с/ч й назад?