5. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Пусть у нас есть дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной:

,

Рассмотрим виды дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают понижение порядка:

I. Дифференциальные уравнения не содержащие аргумента:

(*)

Вводим новую переменную Р:

подставляем это в (*) получаем:

.

Получили дифференциальные уравнения первого порядка и его решением будет функция: или

Разделяем переменные, умножая обе части на :

- Общее решение

Пример:

.

Вводим замену: (1)

Из равенства (1) получаем: (2)

Тогда (3)

Подставляем значения и из равенств (1) и (3) в заданное уравнение и получаем:

.

Получили уравнение первого порядка. Решаем методом разделения переменными Р и у. Уравнение решается относительно Р.

.

Сокращаем обе части на Р

.

Делим переменные, умножая обе части на получаем:

.

Интегрируем оба части:

Потенцируем:

(4)

Подставляем полученное значение Р из равенства (4) в равенство (1), получаем:

Вновь получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных у и х.

Делим переменные, умножая обе части равенства на , получаем:

Интегрируем:

.

Потенцируем:

Получаем общее решение дифференциального уравнения:

II. Дифференциальные уравнения не содержащие искомой функции:

(**)

Тогда уравнение (**) примет вид:

.

Решением этого уравнения будет функция:

- Общее решение

Пример:

Вводим замену: (1)

Тогда (2)

Подставляем значения и из равенств (1) и (2) в исходное уравнение и получаем:

.

Делим переменные, умножая обе части на получаем:

.

Интегрируем оба части равенства:

Потенцируем:

(3)

Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1) и получаем:

.

Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем:

- Общее решение

III. Дифференциальные уравнения не содержащее искомой функции и её производной:

(***)

Подстановка: подставляем в (***)

- Общее решение

Например: Найти общее решение дифференциального уравнения:

Вводим подстановку: (1)

Тогда (2)

Подставляем значения из равенства (2) в исходное уравнение:

.

Делим переменные, умножая обе части равенства на получаем:

.

Решаем полученное уравнение, интегрируя обе части:

и получаем;

(3)

Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1), получаем:

.

Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем:

.

Таким образом,

- Общее решение

Примечание. Решаем интеграл методом интегрирования по частям:

Практическая часть

Задачи для домашнего решения

1. Найти общее и частное решение:

а) при , если ;

б) при , если ;

в) при , если ;

г) при , если ;

д) при , если ;

е) при , если .

2. Найти общее решение:

а) ;

б) ;

в) .

3. Найти общее решение:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

4. Найти общее решение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .